Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(k)\left\{\begin{array}{l}x+y+z+t=0 \\\ x+3 y+z-t=4 \\\ x+y-z+t=-4 \\\ x-2 y+z+t=2\end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x+y+z+t=0,\\\ x+3y+z-t=4,\\\ x+y-z+t=-4,\\\ x-2y+z+t=2, \end{cases}
e envolve quatro variáveis (x,y,z,t). Vamos usar o método de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha para chegar a uma forma triangular (ou reduzida), permitindo resolver por substituição e classificar o sistema.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das equações 2, 3 e 4 usando a equação 1 como pivô:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & 1 & -1 & 4\\\\ 1 & 1 & -1 & 1 & -4\\\\ 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,R_2\to R_2-R_1,\;R_3\to R_3-R_1,\;R_4\to R_4-R_1\,}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & -2 & 4\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & -3 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Agora eliminamos y da quarta linha usando a segunda linha como pivô em y:
R_4 \;\to\; R_4 + \tfrac32\,R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & -2 & 4\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 8 \end{array}\right].

Passo 4

Chegamos a um sistema triangular equivalente às linhas acima. Da quarta linha obtém-se
-3\,t = 8 \quad\Longrightarrow\quad t = -\tfrac{8}{3}.
Substituindo na terceira linha,
-2\,z = -4 \quad\Longrightarrow\quad z = 2.
Na segunda linha,
2\,y -2\,t = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2y -2\bigl(-\tfrac{8}{3}\bigr)=4 \quad\Longrightarrow\quad 2y = 4 -\Bigl(-\tfrac{16}{3}\Bigr)= -\tfrac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Finalmente, pela primeira linha,
x + y + z + t = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\bigl(y+z+t\bigr) = -\Bigl(-\tfrac{2}{3} + 2 - \tfrac{8}{3}\Bigr) = \tfrac{4}{3}.

Resposta

x = \tfrac{4}{3},\quad y = -\tfrac{2}{3},\quad z = 2,\quad t = -\tfrac{8}{3}.
O sistema é compatível determinado (solução única).

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