Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rr}x+3 y+2 z= & 2 \\\\ 3 x+5 y+4 z= & 4, \\\\ 5 x+3 y+4 z= & -10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 3y + 2z = 2,\\\\ 3x + 5y + 4z = 4,\\\\ 5x + 3y + 4z = -10, \end{cases}
e pede para resolver pelo Método de Gauss–Jordan e classificar o sistema. Vamos organizar a matriz aumentada e aplicar eliminações de linha até chegar à forma reduzida.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e eliminando abaixo do pivô da primeira coluna:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 3 & 5 & 4 & 4\\\\ 5 & 3 & 4 & -10 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{cases} L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1,\\\ L_3 \leftarrow L_3 - 5L_1, \end{cases}
ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 0 & -4 & -2 & -2\\\\ 0 & -12 & -6 & -20 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora normalizamos a segunda linha para tornar o pivô igual a 1:
L_2 \leftarrow \frac{1}{-4}\,L_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & -12 & -6 & -20 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos as outras entradas na segunda coluna usando L_2:
\begin{cases} L_1 \leftarrow L_1 - 3\,L_2,\\\ L_3 \leftarrow L_3 + 12\,L_2, \end{cases}
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}.

Passo 5

Na terceira linha temos
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -14,
ou seja 0 = -14, uma contradição que mostra que o sistema não admite nenhuma solução.

Resposta

O sistema é incompatível (sem solução).

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