Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(p ) \left\{\begin{array}{rl}x+4 y-z & =12 \\\\ 3 x+8 y-2 z & =4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema
\begin{cases} x + 4y - z = 12,\\\\ 3x + 8y - 2z = 4, \end{cases}
além de classificá-lo (possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível). Vamos montar a matriz aumentada, levá-la à forma reduzida e interpretar o resultado.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada associada ao sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\\\ 3 & 8 & -2 & 4 \end{array}\right].
Para eliminar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna, fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 3\,R_1,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\\\ 0 & -4 & 1 & -32 \end{array}\right].

Passo 3

Agora normalizamos a segunda linha dividindo por -4:
R_2 \leftarrow -\tfrac14\,R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\\\ 0 & 1 & -\tfrac14 & 8 \end{array}\right].
Em seguida eliminamos o coeficiente acima do pivô da segunda coluna com
R_1 \leftarrow R_1 - 4\,R_2,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -20\\\\ 0 & 1 & -\tfrac14 & 8 \end{array}\right].

Passo 4

A matriz já está na forma reduzida. Ela corresponde ao sistema
\begin{cases} x = -20,\\\ y - \tfrac14\,z = 8. \end{cases}
Repare que z não é pivô, então podemos usá-lo como parâmetro livre. Seja
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Da segunda equação vem
y = 8 + \tfrac14\,t,
e da primeira
x = -20.

Resposta

O conjunto-solução é
\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=-20,\;y=8+\tfrac14\,t,\;z=t,\;t\in\mathbb{R}\bigr\}
e o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções).

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