Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x+2 y+3 z & =0 \\\\ 2 x+y+3 z & =0 \\\\ 3 x+2 y+z & =0\end{aligned}\right.,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0,\\\\ 3x + 2y + z = 0 \end{cases}
pelo Método de Gauss–Jordan e depois classificá-lo. Vamos usar operações elementares em matrizes aumentadas até chegar à forma reduzida.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right].
O objetivo do Gauss–Jordan é transformar o lado esquerdo em uma matriz identidade usando pivôs.

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô (posição (1,1)):
  • L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
  • L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & -3 & -3 & 0\\\\ 0 & -4 & -8 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Usamos o segundo pivô em (2,2). Primeiro, escalonamos L_2 para ter 1 nessa posição:
L_2 \leftarrow -\tfrac13\,L_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -4 & -8 & 0 \end{array}\right].
Em seguida, eliminamos acima e abaixo desse pivô:
  • L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2
  • L_3 \leftarrow L_3 + 4L_2
Resultando em
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, usamos o terceiro pivô em (3,3). Escalonamos L_3:
L_3 \leftarrow -\tfrac14\,L_3 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Eliminamos acima desse pivô:
  • L_1 \leftarrow L_1 - L_3
  • L_2 \leftarrow L_2 - L_3
Chegamos à forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Da forma reduzida segue que
x = 0,\quad y = 0,\quad z = 0.
Como o determinante da matriz dos coeficientes é não nulo (única solução trivial), o sistema é compatível determinado.

Resposta

Sistema compatível determinado. x=0,\;y=0,\;z=0.

Exercícios relacionados