Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{r}x+6 y-8 z=1 \\\\ 2 x+6 y-4 z=0\end{array}\right.,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + 6y - 8z = 1,\\\\ 2x + 6y - 4z = 0 \end{cases}
pelo Método de Gauss–Jordan e, em seguida, classificá-lo (se é único, impossível ou indeterminado).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e usamos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 para eliminar x de R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\\\ 2 & 6 & -4 & 0 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_2-2R_1}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\\\ 0 & -6 & 12 & -2 \end{array}\right].

Passo 3

Agora normalizamos R_2 e usamos o pivô de R_2 para zerar o coeficiente de y em R_1:
R_2\leftarrow-\tfrac{1}{6}R_2 \;\Rightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\\\ 0 & 1 & -2 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right],
R_1\leftarrow R_1 - 6R_2 \;\Rightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 4 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right].

Passo 4

Da forma reduzida lemos as equações
\begin{cases} x + 4z = -1,\\\ y - 2z = \tfrac{1}{3}. \end{cases}
Como há menos equações que incógnitas, tomamos z = t como parâmetro. Logo
x = -1 - 4t,\quad y = \tfrac{1}{3} + 2t,\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Isso mostra que o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

A solução geral é
x = -1 - 4t,\quad y = \tfrac{1}{3} + 2t,\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
O sistema é compatível indeterminado.

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