Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\text{(c)}\left\{\begin{aligned} x+3 y+2 z & =2 \\\\ 3 x+5 y+4 z & =4, \\\\ 5 x+3 y+4 z & =-10\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações lineares em (x,y,z) e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss–Jordan e classificá-lo (se tem solução única, infinitas soluções ou é incompatível).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos as entradas de baixo embaixo do pivô \,a_{11}=1.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 3 & 5 & 4 & 4\\\\ 5 & 3 & 4 & -10 \end{array}\right] \quad\overset{R_2\gets R_2-3R_1,\;R_3\gets R_3-5R_1}{\longrightarrow}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 0 & -4 & -2 & -2\\\\ 0 & -12 & -6 & -20 \end{array}\right]

Passo 3

Agora normalizamos R_2 e zeramos a coluna 2 em R_1 e R_3.
R_2\gets -\tfrac14R_2\;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & -12 & -6 & -20 \end{array}\right]
R_1\gets R_1-3R_2,\quad R_3\gets R_3+12R_2 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{array}\right]

Passo 4

A terceira linha ficou
0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = -14,
ou seja, a equação 0=-14 é impossível. Logo não há solução compatível com todas as equações.

Resposta

O sistema é incompatível (não tem solução).

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