Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(g)\left\{\begin{array}{l}3 x+5 y+z=1 \\\\ 2 x+z=3, \\\\ 5 x+y-z=0\end{array}\right.

Passo 1

O sistema
(g)\left\{\begin{array}{l} 3x + 5y + z = 1,\\\\ 2x + z = 3,\\\\ 5x + y - z = 0 \end{array}\right.
tem três equações e três incógnitas (x,y,z). Vamos usar o Método de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares por linhas até obter a forma reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Dividimos a linha 1 por 3 para criar pivô unitário em x:
R_1 \leftarrow \tfrac13 R_1 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac53 & \tfrac13 & \tfrac13\\\\ 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Em seguida, eliminamos x em R_2 e R_3 por
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac53 & \tfrac13 & \tfrac13\\\\ 0 & -\tfrac{10}3 & \tfrac13 & \tfrac73\\\\ 0 & -\tfrac{22}3 & -\tfrac83 & -\tfrac53 \end{array}\right].

Passo 3

Para anular o termo em y na terceira linha sem introduzir frações extras, primeiro multiplicamos
R_2 \leftarrow 3R_2,\quad R_3 \leftarrow 3R_3,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac53 & \tfrac13 & \tfrac13\\\\ 0 & -10 & 1 & 7\\\\ 0 & -22 & -8 & -5 \end{array}\right].
Depois fazemos
R_3 \leftarrow 11\,R_2 \;-\;5\,R_3
para anular o coeficiente de y em R_3, o que gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac53 & \tfrac13 & \tfrac13\\\\ 0 & -10 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 51 & 102 \end{array}\right].
Agora transformamos em forma reduzida por linhas (RREF):
Primeiro, R_3 \leftarrow \tfrac1{51}R_3 dá pivô 1 em z. Em seguida eliminamos z em R_2 e R_1 por
R_2 \leftarrow R_2 - R_3, \quad R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac13 R_3.
Depois escalamos R_2 \leftarrow -\tfrac1{10}R_2 para pivô 1 em y. Por fim, anulamos y em R_1 com
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac53 R_2.
O resultado final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 4

Da forma reduzida por linhas lemos imediatamente
x = \tfrac12,\quad y = -\tfrac12,\quad z = 2.
Como chegamos à matriz identidade à esquerda e valores únicos à direita, o sistema é possível e determinado (solução única).

Resposta

x = \tfrac12,\; y = -\tfrac12,\; z = 2. O sistema é possível e determinado.

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