Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{r}x+5 y+4 z-13 t=3 \\\\ 3 x-y+2 z+5 t=2 \\\\ 2 x+2 y+3 z-4 t=1\end{array}, \quad(v)\left\{\begin{array}{r}x+2 y-3 z+2 t=2 \\\\ 2 x+5 y-8 z+6 t=5, \\\\ 3 x+4 y-5 z+2 t=4\end{array},\right.)

Passo 1

Estamos diante de dois sistemas lineares, cada um com quatro incógnitas \(x,y,z,t) e três equações. O método de Gauss–Jordan consiste em escrever a matriz aumentada de cada sistema e aplicar operações elementares sobre linhas até chegar à forma reduzida por linhas (RREF). A partir dessa forma lemos as soluções ou identificamos inconsistências, classificando o sistema como impossível, possível determinado (solução única) ou possível indeterminado (infinitas soluções).

Passo 2

Para o primeiro sistema
\begin{cases} x+5y+4z-13t=3,\\\\ 3x-y+2z+5t=2,\\\\ 2x+2y+3z-4t=1, \end{cases}
montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\\\ 3 & -1 & 2 & 5 & 2\\\\ 2 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right].
Aplicando
R_2\leftarrow R_2-3R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-2R_1
obtemos
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\\\ 0 & -16 & -10 & 44 & -7\\\\ 0 & -8 & -5 & 22 & -5 \end{array}\right].
Em seguida usamos
R_2\leftarrow -\tfrac1{16}R_2
para ter pivô 1 em (2,2), e então
R_1\leftarrow R_1-5R_2,\quad R_3\leftarrow R_3+8R_2.
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & \tfrac{7}{8} & \tfrac{3}{4} & \tfrac{13}{16}\\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{8} & -\tfrac{11}{4} & \tfrac{7}{16}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} \end{array}\right].
A última linha diz 0x+0y+0z+0t=-\tfrac32, o que é impossível. Logo, o primeiro sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 3

Para o sistema (v)\) \[\begin{cases} x+2y-3z+2t=2,\\\\ 2x+5y-8z+6t=5,\\\\ 3x+4y-5z+2t=4, \end{cases}
a matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\\\ 2 & 5 & -8 & 6 & 5\\\\ 3 & 4 & -5 & 2 & 4 \end{array}\right].
Fazendo
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-3R_1
vem
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 \end{array}\right].
Depois
R_1\leftarrow R_1-2R_2,\quad R_3\leftarrow R_3+2R_2
chegamos à forma
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Aqui há dois pivôs (colunas 1\] e \(2) e duas colunas livres z e t. Escolhendo \;z=s,\;t=r,
as equações das linhas 1 e 2 dão
x + z -2t = 0\implies x=-s+2r,
y -2z +2t =1\implies y=1+2s-2r.
Portanto há infinitas soluções, com dois parâmetros livres.

Resposta

Primeiro sistema: inconsistente, não há solução.
Sistema (v): possível indeterminado, infinitas soluções dadas por
(x,y,z,t)=(-s+2r,\;1+2s-2r,\;s,\;r),
com s,r\in\mathbb{R}.

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