Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}2 x-y+z-t & =4 \\\\ 3 x+2 y-z+2 t & =1 \\\\ 2 x-y-z-t & =0 \\\\ 5 x & +2 t=1\end{array},\right.)

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,t. O método de Gauss–Jordan consiste em montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha até obter a forma reduzida, em que a parte esquerda fica a matriz identidade e a direita nos dá as soluções. Precisaremos usar pivôs para zerar coeficientes coluna a coluna.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -1 & 1 & -1 & 4\\\\ 3 & 2 & -1 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & -1 & 0\\\\ 5 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Escolhemos o pivô na posição (1,1). Dividimos a linha 1 por 2 e, em seguida, zeramos a coluna 1 nas outras linhas:
\begin{aligned} R_1&\leftarrow \tfrac12\,R_1&(1,\,-\tfrac12,\,\tfrac12,\,-\tfrac12\mid 2)\\\ R_2&\leftarrow R_2-3\,R_1&(0,\,\tfrac72,\,-\tfrac52,\,\tfrac72\mid -5)\\\ R_3&\leftarrow R_3-2\,R_1&(0,\,0,\,-2,\,0\mid -4)\\\ R_4&\leftarrow R_4-5\,R_1&(0,\,\tfrac52,\,-\tfrac52,\,\tfrac92\mid -9) \end{aligned}

Passo 4

Agora o pivô é o elemento \tfrac72 na posição (2,2). Dividimos a linha 2 por \tfrac72 e zeramos a coluna 2 nas demais linhas:
\begin{aligned} R_2&\leftarrow \tfrac{2}{7}\,R_2&(0,\,1,\,-\tfrac57,\,1\mid -\tfrac{10}{7})\\\ R_1&\leftarrow R_1+\tfrac12\,R_2&(1,\,0,\,\tfrac17,\,0\mid \tfrac97)\\\ R_4&\leftarrow R_4-\tfrac52\,R_2&(0,\,0,\,-\tfrac57,\,2\mid -\tfrac{38}{7}) \end{aligned}
(A linha 3 já tinha zero nessa coluna.)

Passo 5

O pivô seguinte está em (3,3), é -2. Dividimos a linha 3 por -2 e zeramos a coluna 3 nas outras linhas:
\begin{aligned} R_3&\leftarrow -\tfrac12\,R_3&(0,\,0,\,1,\,0\mid 2)\\\ R_1&\leftarrow R_1-\tfrac17\,R_3&(1,\,0,\,0,\,0\mid 1)\\\ R_2&\leftarrow R_2+\tfrac57\,R_3&(0,\,1,\,0,\,1\mid 0)\\\ R_4&\leftarrow R_4+\tfrac57\,R_3&(0,\,0,\,0,\,2\mid -4) \end{aligned}

Passo 6

Por fim, o pivô em (4,4) é 2. Dividimos a linha 4 por 2 e zeramos a coluna 4 na linha 2 (as linhas 1 e 3 já têm zero nessa coluna):
\begin{aligned} R_4&\leftarrow \tfrac12\,R_4&(0,\,0,\,0,\,1\mid -2)\\\ R_2&\leftarrow R_2-R_4&(0,\,1,\,0,\,0\mid 2) \end{aligned}
Restou a forma reduzida:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]

Resposta

A solução única é \displaystyle x=1,\;y=2,\;z=2,\;t=-2.
O sistema é determinado (tem solução única).

Exercícios relacionados