Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-3 z+2 t & =2 \\\\ 2 x+5 y-8 z+6 t & =5, \\\\ 3 x+4 y-5 z+2 t & =4\end{array},\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+2y-3z+2t=2,\\\\ 2x+5y-8z+6t=5,\\\\ 3x+4y-5z+2t=4 \end{cases}
pelo método de Gauss–Jordan e depois classificá-lo (única solução, nenhuma ou infinitas). Vamos montar a matriz ampliada e levá-la à forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada e eliminamos abaixo do pivô da primeira linha:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 2 & \;|\; & 2\\\\ 2 & 5 & -8 & 6 & \;|\; & 5\\\\ 3 & 4 & -5 & 2 & \;|\; & 4 \end{pmatrix}.
Fazendo R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1} obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 2 & \;|\; & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & \;|\; & 1\\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & \;|\; & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do segundo pivô: R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2}, resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 2 & \;|\; & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & \;|\; & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \;|\; & 0 \end{pmatrix}.
A terceira linha nula indica que não há contradição, mas haverá variáveis livres.

Passo 4

Passamos à forma reduzida zerando acima dos pivôs. Fazemos R_{1}\leftarrow R_{1}-2R_{2}\): \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -2 & \;|\; & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & \;|\; & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \;|\; & 0 \end{pmatrix}.
Dessa forma, as equações ficam
\begin{cases} x + z -2t = 0,\\\ y -2z +2t = 1, \end{cases}
onde z\] e \(t são variáveis livres. Chamando z=\lambda e t=\mu, temos
x = -\lambda +2\mu,\quad y = 1+2\lambda -2\mu.

Resposta

O sistema é indeterminado, com infinitas soluções dadas por
(x,y,z,t)=\bigl(-\lambda+2\mu,\;1+2\lambda-2\mu,\;\lambda,\;\mu\bigr),
onde \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

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