Resolva os seguintes sistemas utilizando a Método de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\ x-y+2 z=2 \\\ x+6 y+3 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos o sistema
\begin{cases} x+y+z=1\\[4pt] x-y+2z=2\\[4pt] x+6y+3z=3 \end{cases}
Lista das informações dadas:
\begin{array}{l} \text{equação 1: }x+y+z=1,\\[4pt] \text{equação 2: }x-y+2z=2,\\[4pt] \text{equação 3: }x+6y+3z=3. \end{array}çãçãçã
O que se pede: encontrar os valores das incógnitas x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Transformação para matriz aumentada — por que e como. A matriz aumentada junta os coeficientes das incógnitas e os termos independentes num mesmo quadro, o que facilita aplicar operações para eliminar incógnitas. Cada linha corresponde a uma equação, cada coluna corresponde a uma incógnita (e a última coluna aos termos independentes).
A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 6 & 3 & 3 \end{array}\right].
Vou usar as operações elementares de linha que não mudam o conjunto de soluções:
\text{(1) trocar duas linhas, (2) multiplicar uma linha por escalar não nulo, (3) somar a uma linha um múltiplo de outra.}ãú
Essas operações correspondem a manipular as equações sem alterar o sistema solução.]

Passo 3

Eliminar x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô. Regras aplicadas (estou escrevendo as operações em notação usual):
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Aplicando na matriz aumentada obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2 \end{array}\right].
Explicação numérica detalhada: para R_2 subtraímos coeficientes linha a linha: 1-1=0, -1-1=-2, 2-1=1, 2-1=1. Para R_3: 1-1=0, 6-1=5, 3-1=2, 3-1=2.]

Passo 4

Agora o pivô para a segunda coluna é o elemento -2 em R_2. É conveniente transformá-lo em 1 para facilitar eliminações posteriores. Usei a operação
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2.
Isso multiplica toda a linha 2 por -\tfrac{1}{2}. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2 \end{array}\right].
Comentário: transformar o pivô em 1 é uma prática comum (chama-se escalonar para pivô unitário) e facilita calcular combinações lineares simples.]

Passo 5

Eliminar o termo da segunda coluna em R_1 e em R_3 usando o novo R_2 (que tem pivô 1). Operações:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2.
Calculando:
  • Para R_1: [1,\,1,\,1\,|\,1] - [0,\,1,\,-\tfrac12\,|\,-\tfrac12] = [1,\,0,\,\tfrac32\,|\,\tfrac32].
  • Para R_3: [0,\,5,\,2\,|\,2] -5\cdot[0,\,1,\,-\tfrac12\,|\,-\tfrac12] = [0,\,0,\,\tfrac{9}{2}\,|\,\tfrac{9}{2}].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{9}{2} & \tfrac{9}{2} \end{array}\right].]

Passo 6

Agora pivot na terceira coluna é \tfrac{9}{2} em R_3. Torne-o 1 multiplicando R_3 por \tfrac{2}{9}:
R_3 \leftarrow \tfrac{2}{9}R_3.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Interpretação: a terceira linha diz agora 0x+0y+1z=1, ou seja z=1.]

Passo 7

Eliminar os coeficientes da coluna z nas linhas R_1 e R_2 para obter a forma reduzida (Gauss-Jordan exige zeros acima e abaixo dos pivôs). Operações:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3.
Cálculos detalhados:
  • R_1: [1,\,0,\,\tfrac32\,|\,\tfrac32] - \tfrac32\cdot[0,\,0,\,1\,|\,1] = [1,\,0,\,0\,|\,0].
  • R_2: [0,\,1,\,-\tfrac12\,|\,-\tfrac12] + \tfrac12\cdot[0,\,0,\,1\,|\,1] = [0,\,1,\,0\,|\,0].
A matriz fica então na forma reduzida por linhas:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Ler a solução diretamente da matriz reduzida: cada linha corresponde a uma equação com uma única incógnita:
\begin{array}{l} \text{linha 1: }x=0,\\[4pt] \text{linha 2: }y=0,\\[4pt] \text{linha 3: }z=1. \end{array}
Pequena checagem rápida substituindo na equação 1: 0+0+1=1 ok; equação 2: 0-0+2\cdot1=2 ok; equação 3: 0+6\cdot0+3\cdot1=3 ok. Tudo bate.]

Resposta

x=0
y=0
z=1

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