Resolva os seguintes sistemas utilizando a Método de Gauss-Jordan:
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos o sistema
Lista das informações dadas:
O que se pede: encontrar os valores das incógnitas
,
e
que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Transformação para matriz aumentada — por que e como. A matriz aumentada junta os coeficientes das incógnitas e os termos independentes num mesmo quadro, o que facilita aplicar operações para eliminar incógnitas. Cada linha corresponde a uma equação, cada coluna corresponde a uma incógnita (e a última coluna aos termos independentes).
A matriz aumentada do sistema é
Vou usar as operações elementares de linha que não mudam o conjunto de soluções:
Essas operações correspondem a manipular as equações sem alterar o sistema solução.]
Passo 3
Eliminar
nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô. Regras aplicadas (estou escrevendo as operações em notação usual):
Aplicando na matriz aumentada obtemos
Explicação numérica detalhada: para
subtraímos coeficientes linha a linha:
,
,
,
. Para
:
,
,
,
.]
Passo 4
Agora o pivô para a segunda coluna é o elemento
em
. É conveniente transformá-lo em
para facilitar eliminações posteriores. Usei a operação
Isso multiplica toda a linha 2 por
. A matriz fica
Comentário: transformar o pivô em
é uma prática comum (chama-se escalonar para pivô unitário) e facilita calcular combinações lineares simples.]
Passo 5
Eliminar o termo da segunda coluna em
e em
usando o novo
(que tem pivô
). Operações:
Calculando:
- Para
: . - Para
: .
A matriz passa a ser
Passo 6
Agora pivot na terceira coluna é
em
. Torne-o
multiplicando
por
:
Isso dá
Interpretação: a terceira linha diz agora
, ou seja
.]
Passo 7
Eliminar os coeficientes da coluna
nas linhas
e
para obter a forma reduzida (Gauss-Jordan exige zeros acima e abaixo dos pivôs). Operações:
Cálculos detalhados:
A matriz fica então na forma reduzida por linhas:
Passo 8
Ler a solução diretamente da matriz reduzida: cada linha corresponde a uma equação com uma única incógnita:
Pequena checagem rápida substituindo na equação 1:
ok; equação 2:
ok; equação 3:
ok. Tudo bate.]