Escreva os seguintes sistemas na forma matricial:
\left\{\begin{aligned} 2 x-8 y & =10 \\\ x+2 y-3 z & =3 \\\\ 2 x+2 y+7 z & =12\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o sistema na forma matricial. O sistema dado é
\left\{\begin{aligned} 2x-8y &= 10\\[4pt] x+2y-3z &= 3\\[4pt] 2x+2y+7z &= 12 \end{aligned}\right.
As informações relevantes são as três equações lineares com as incógnitas x, y e z, e os termos constantes 10, 3 e 12.]

Passo 2

O que significa “forma matricial”? Significa escrever o sistema no formato
A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde:
  • A é a matriz dos coeficientes (cada linha de A corresponde a uma equação, cada coluna a uma incógnita);
  • \mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas;
  • \mathbf{b} é o vetor coluna dos termos constantes (lado direito).
Explicando com calma: multiplicar a matriz A pelo vetor \mathbf{x} combina as colunas de A com os componentes de \mathbf{x} de forma que cada linha da multiplicação dá uma das equações do sistema.

Passo 3

Escolhemos a ordem das incógnitas como \,x,y,z. Agora vamos formar a matriz dos coeficientes lendo cada equação e pegando os coeficientes de x, y e z nessa ordem:
  • Na primeira equação 2x-8y=10 não aparece z, então o coeficiente de z é 0. A primeira linha de A é (2,\,-8,\,0).
  • Na segunda equação x+2y-3z=3 os coeficientes são (1,\,2,\,-3).
  • Na terceira equação 2x+2y+7z=12 os coeficientes são (2,\,2,\,7).
Portanto a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & -8 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & 2 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

O vetor coluna das incógnitas, seguindo a ordem escolhida, é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
O vetor coluna dos termos constantes é formado pelos lados direitos das equações, na mesma ordem:
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]3\\[4pt]12\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora juntamos tudo na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Escrevendo explicitamente:
\begin{pmatrix} 2 & -8 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt]3\\[4pt]12\end{pmatrix}.]

Passo 6

Vamos checar rapidinho expandindo a multiplicação linha a linha para ver se obtemos as equações originais:
  • Primeira linha: 2\cdot x + (-8)\cdot y + 0\cdot z = 10 2x-8y=10.
  • Segunda linha: 1\cdot x + 2\cdot y + (-3)\cdot z = 3 x+2y-3z=3.
  • Terceira linha: 2\cdot x + 2\cdot y + 7\cdot z = 12 2x+2y+7z=12.
Bela conferida: bate certinho com o sistema dado.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -8 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt]3\\[4pt]12\end{pmatrix}]

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