Escreva os seguintes sistemas na forma matricial:
\left\{\begin{array}{rrrrrr}4 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & = & -6 & \\\\ -4 x_{1}-6 x_{2}-x_{3}+3 x_{4} & = & 14 \\\\ 8 x_{1}+10 x_{2}+4 x_{3}-3 x_{4} & = & 15 \\\\ 20 x_{1}+16 x_{2}-3 x_{3}-4 x_{4} & = & -20\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o sistema linear abaixo na forma matricial. Vou listar aqui as equações e as informações dadas, exatamente como estão no enunciado:
\begin{cases} 4x_{1}+2x_{2}+3x_{3} &= -6\\[4pt] -4x_{1}-6x_{2}-x_{3}+3x_{4} &= 14\\[4pt] 8x_{1}+10x_{2}+4x_{3}-3x_{4} &= 15\\[4pt] 20x_{1}+16x_{2}-3x_{3}-4x_{4} &= -20 \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • As incógnitas são \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,.
  • Cada linha dá os coeficientes das incógnitas e o termo independente à direita.
  • Na primeira equação não aparece x_{4}; isso equivale a ter coeficiente 0 para x_{4}.]

Passo 2

O objetivo é escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde:
  • A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde aos coeficientes de uma equação),
  • \mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas,
  • \mathbf{b} é o vetor coluna dos termos independentes (o lado direito).
Antes de montar as matrizes, escolhemos a ordem das incógnitas. Aqui usamos a ordem natural
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}.
A ordem é importante: cada coluna da matriz A corresponde a uma dessas incógnitas.]

Passo 3

Agora vou construir a matriz dos coeficientes A. Para cada equação, escrevo os coeficientes de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, nessa ordem. Quando uma incógnita não aparece, coloco 0 no lugar do coeficiente.
Linha a linha (peguei os coeficientes diretamente das equações listadas no Passo 1):
  • 1ª equação: coeficientes \,4,\,2,\,3,\,0\, (coloquei 0 para x_{4} porque não aparece).
  • 2ª equação: coeficientes -4,\,-6,\,-1,\,3.
  • 3ª equação: coeficientes 8,\,10,\,4,\,-3.
  • 4ª equação: coeficientes 20,\,16,\,-3,\,-4.
Assim a matriz A fica
A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 & 0\\[4pt] -4 & -6 & -1 & 3\\[4pt] 8 & 10 & 4 & -3\\[4pt] 20 & 16 & -3 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora formo o vetor coluna das incógnitas (já definido no Passo 2) e o vetor dos termos independentes \mathbf{b}. O vetor \mathbf{b} contém, em cada linha, o valor do lado direito da equação correspondente (extraído diretamente do enunciado no Passo 1):
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-6\\[4pt]14\\[4pt]15\\[4pt]-20\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para ficar bem claro o porquê disso ser a mesma coisa que o sistema original, veja a primeira linha do produto A\mathbf{x}:
\begin{pmatrix}4 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} =4x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+0x_{4}= -6,
que reproduz exatamente a primeira equação do sistema. O mesmo vale para as demais linhas: cada linha de A multiplicada pelo vetor \mathbf{x} dá a equação correspondente com o termo de \mathbf{b}.]

Resposta

[
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 & 0\\[4pt] -4 & -6 & -1 & 3\\[4pt] 8 & 10 & 4 & -3\\[4pt] 20 & 16 & -3 & -4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] x_{4} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -6\\[4pt] 14\\[4pt] 15\\[4pt] -20 \end{pmatrix}]

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