Resolva k nas seguintes situações:
\left|\begin{array}{ccc}1 & k & k \\\\ 2 & 2 k & 1 \\\\ 3 & k+1 & 1\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de k que fazem desaparecer o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & k & k\\\\ 2 & 2k & 1\\\\ 3 & k+1 & 1 \end{pmatrix}
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3, que pode ser feito pela regra de Sarrus ou pela definição de cofactores.

Passo 2

Vamos aplicar a regra de Sarrus. Denotando os elementos da matriz por a_{ij}, temos
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}.
Substituindo os valores,
\det = 1\cdot(2k)\cdot1 \;+\; k\cdot1\cdot3 \;+\; k\cdot2\cdot(k+1) \;-\; k\cdot(2k)\cdot3 \;-\; 1\cdot1\cdot(k+1) \;-\; k\cdot2\cdot1.

Passo 3

Agora desenvolvemos e simplificamos termo a termo:
\det = 2k + 3k + 2k(k+1) - 6k^2 - (k+1) - 2k.
Agrupando e coletando coeficientes:
2k+3k-2k = 3k, \quad 2k(k+1)=2k^2+2k, \quad -(k+1)=-k-1,
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\det = (3k) + (2k^2+2k) - 6k^2 - k - 1 = -4k^2 + 4k - 1.

Passo 4

Para que o determinante seja zero, resolvemos
-4k^2 + 4k - 1 = 0.
Multiplicando por -1:
4k^2 - 4k + 1 = 0.
Reconhecemos um trinômio quadrado perfeito:
(2k - 1)^2 = 0
e, portanto,
k = \frac{1}{2}.

Resposta

k = \frac{1}{2}

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