Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}\left[(\mathrm{t}-3) \mathrm{u}_{2}(\mathrm{t})-(\mathrm{t}-2) \mathrm{u}_{3}(\mathrm{t})\right]

Passo 1

O enunciado pede
\mathcal{L}\bigl[(t-3)\,u_{2}(t)\;-\;(t-2)\,u_{3}(t)\bigr],
onde u_{a}(t) é o degrau unitário em t=a.
O conteúdo que vamos usar é o teorema do deslocamento na transformada de Laplace, que diz:
\mathcal{L}\bigl[g(t-a)\,u_{a}(t)\bigr] = e^{-a s}\,G(s),
sendo G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}.

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\bigl[(t-3)\,u_{2}(t)\bigr].
Fazemos a mudança de variável \tau=t-2, então t-3=(\tau+2)-3=\tau-1.
Logo
(t-3)\,u_{2}(t)=(\tau-1)\,u(t-2) =\tau\,u(t-2)\;-\;1\cdot u(t-2).
Aplicando o teorema do deslocamento:
\mathcal{L}\{\tau\,u(t-2)\} =e^{-2s}\,\mathcal{L}\{\tau\} =e^{-2s}\,\frac{1}{s^{2}},
\mathcal{L}\{u(t-2)\} =e^{-2s}\,\mathcal{L}\{1\} =e^{-2s}\,\frac{1}{s}.
Portanto
\mathcal{L}\bigl[(t-3)\,u_{2}(t)\bigr] =e^{-2s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s}\Bigr).

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\bigl[(t-2)\,u_{3}(t)\bigr].
Agora use \tau=t-3, de modo que t-2=(\tau+3)-2=\tau+1. Então
(t-2)\,u_{3}(t)=(\tau+1)\,u(t-3) =\tau\,u(t-3)\;+\;1\cdot u(t-3).
Pelo teorema do deslocamento:
\mathcal{L}\{\tau\,u(t-3)\} =e^{-3s}\,\mathcal{L}\{\tau\} =e^{-3s}\,\frac{1}{s^{2}},
\mathcal{L}\{u(t-3)\} =e^{-3s}\,\frac{1}{s}.
Logo
\mathcal{L}\bigl[(t-2)\,u_{3}(t)\bigr] =e^{-3s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s}\Bigr).

Passo 4

Usando linearidade,
\mathcal{L}\bigl[(t-3)u_{2}(t)-(t-2)u_{3}(t)\bigr] =\,e^{-2s}\Bigl(\tfrac{1}{s^{2}}-\tfrac{1}{s}\Bigr) \;-\; e^{-3s}\Bigl(\tfrac{1}{s^{2}}+\tfrac{1}{s}\Bigr).

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\bigl[(t-3)u_{2}(t)-(t-2)u_{3}(t)\bigr] = e^{-2s}\Bigl(\tfrac{1}{s^{2}}-\tfrac{1}{s}\Bigr) -\,e^{-3s}\Bigl(\tfrac{1}{s^{2}}+\tfrac{1}{s}\Bigr). }

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