Calcule as transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2 \mathrm{~s}+3}{\mathrm{~s}^{2}-4 \mathrm{~s}+20}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{2s+3}{s^{2}-4s+20}.
O conteúdo é transformada de Laplace inversa e vamos usar que, se \displaystyle a e b são constantes, então
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\Bigr]=e^{at}\cos(bt), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\Bigr]=e^{at}\sin(bt).

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^{2}-4s+20=(s-2)^{2}+16,
já que (s-2)^{2}=s^{2}-4s+4 e 4+16=20.

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de s-2:
2s+3=2\bigl((s-2)+2\bigr)+3 =2(s-2)+4+3 =2(s-2)+7.
Assim,
F(s) =\frac{2(s-2)+7}{(s-2)^{2}+4^{2}} =\frac{2(s-2)}{(s-2)^{2}+4^{2}} +\frac{7}{(s-2)^{2}+4^{2}}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas conhecidas com a=2 e b=4:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{2(s-2)}{(s-2)^{2}+4^{2}}\Bigr] =2e^{2t}\cos(4t),
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{7}{(s-2)^{2}+4^{2}}\Bigr] =\frac{7}{4}\,e^{2t}\sin(4t).
Somando os resultados, obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\bigl[F(s)\bigr] =e^{2t}\Bigl(2\cos(4t)+\tfrac{7}{4}\sin(4t)\Bigr).

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