Calcule as transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^{2}+4 s+13}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\displaystyle \frac{1}{s^{2} + 4s + 13}.
O conteúdo envolve completar o quadrado no denominador e usar a fórmula padrão
\mathcal{L}^{-1}\bigl[\tfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\bigr]=e^{-at}\sin(bt).

Passo 2

Começamos completando o quadrado em s^{2}+4s+13:
s^{2}+4s+13 = (s^{2}+4s+4)+9 = (s+2)^{2} + 3^{2}.

Passo 3

Reescrevemos a fração de modo a obter no numerador um 3, que é o parâmetro do seno:
\frac{1}{(s+2)^{2}+3^{2}} = \frac{3}{3\bigl((s+2)^{2}+3^{2}\bigr)} = \frac{1}{3}\,\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Reconhecendo que
\displaystyle \frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}} é a transformada de Laplace de e^{-2t}\sin(3t), concluímos que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\frac{1}{s^{2}+4s+13}\Bigr] = \frac{1}{3}\,e^{-2t}\sin(3t).

Resposta

\boxed{\frac{1}{3}e^{-2t}\sin(3t).}

Exercícios relacionados