Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}\left[u_{a}(t) \operatorname{sen}(t)\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,u_{a}(t)\,\sin(t), onde u_{a}(t) é o degrau de Heaviside deslocado em t=a. O conteúdo principal é a propriedade de atraso no tempo: quando a função é ativada apenas a partir de t=a, a transformada ganha um fator e^{-as} e incorpora a forma de \sin(t) a partir desse ponto.

Passo 2

Usamos diretamente a definição
\mathcal{L}\{u_{a}(t)\,\sin(t)\} =\int_{0}^{\infty}u_{a}(t)\,\sin(t)\,e^{-s t}\,dt =\int_{a}^{\infty}\sin(t)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável t=\tau+a. Quando t=a, \tau=0; e quando t\to\infty, \tau\to\infty. Assim
\int_{a}^{\infty}\sin(t)\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}\sin(\tau+a)\,e^{-s(\tau+a)}\,d\tau =e^{-a s}\int_{0}^{\infty}\sin(\tau+a)\,e^{-s\tau}\,d\tau.

Passo 4

Usamos a identidade de soma de ângulos:
\sin(\tau+a)=\sin(\tau)\cos(a)+\cos(\tau)\sin(a).
Então
\int_{0}^{\infty}\sin(\tau+a)\,e^{-s\tau}\,d\tau =\cos(a)\int_{0}^{\infty}\sin(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau +\sin(a)\int_{0}^{\infty}\cos(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau.

Passo 5

Lembrando as transformadas-padrão:
\int_{0}^{\infty}\sin(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau=\frac{1}{s^{2}+1}, \quad \int_{0}^{\infty}\cos(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau=\frac{s}{s^{2}+1},
valendo para \Re(s)>0.

Passo 6

Substituindo essas expressões no passo anterior:
\int_{0}^{\infty}\sin(\tau+a)\,e^{-s\tau}\,d\tau =\cos(a)\,\frac{1}{s^{2}+1} +\sin(a)\,\frac{s}{s^{2}+1} =\frac{s\,\sin(a)+\cos(a)}{s^{2}+1}.
Multiplicando pelo fator e^{-as} que veio da mudança de variável, concluímos a transformada.

Resposta

\mathcal{L}\{u_{a}(t)\,\sin(t)\} =e^{-a s}\,\frac{s\,\sin(a)+\cos(a)}{s^{2}+1}.

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