Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}\left[\mathrm{t}-\mathrm{u}_{1}(\mathrm{t})(\mathrm{t}-1)\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\;f(t)=t - u_{1}(t)\,(t-1),
onde \;u_{1}(t) é a função de Heaviside deslocada em t=1.
Para resolver usamos a linearidade da transformada e o teorema do deslocamento (ou segunda propriedade de Shifting).

Passo 2

Pela linearidade,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{t\} -\mathcal{L}\{u_{1}(t)\,(t-1)\}.
Sabemos que
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 3

Para o termo \mathcal{L}\{u_{1}(t)\,(t-1)\} aplicamos o teorema do deslocamento:
se g(t)=t, então
\mathcal{L}\{u_{1}(t)\,g(t-1)\} =e^{-s}\,\mathcal{L}\{g(t)\} =e^{-s}\,\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Subtraindo os dois resultados, obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s^{2}} =\frac{1 - e^{-s}}{s^{2}}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\bigl[t - u_{1}(t)(t-1)\bigr] =\frac{1 - e^{-s}}{s^{2}}.}

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