Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}[f(t)], sendo f(t)=\left\{\begin{array}{c}0, \text { se } t<2 \\\ (t-2)^{2}, \text { se } t \geq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
para a função em partes
f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\\ (t-2)^{2},&t\ge2. \end{cases}
O conteúdo aqui é a propriedade de deslocamento em tempo (Heaviside).

Passo 2

Reconhecemos que
f(t)=(t-2)^{2}u(t-2),
onde u(t-2) é a função degrau unitário que vale zero para t<2 e 1 para t\ge2.

Passo 3

Antes de aplicar o deslocamento, lembramos que
\mathcal{L}\{t^{2}\} =\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-st}\,dt =\frac{2}{s^{3}}.

Passo 4

Pela propriedade de deslocamento em tempo, se g(t)=t^{2} e a=2, então
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\} =e^{-as}\,\mathcal{L}\{g(t)\} =e^{-2s}\,\frac{2}{s^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{2\,e^{-2s}}{s^{3}}.

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