Resolva os seguntes sistemas usando transformada de Laplace.
b) \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-3 x+4 y+\cos t \\\ \dot{y}=-2 x+3 y+t \\\ x(0)=0, \quad y(0)=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} \dot x = -3x + 4y + \cos t,\\\ \dot y = -2x + 3y + t,\\\ x(0)=0,\;y(0)=1
pelas transformadas de Laplace.
Vamos chamar \mathcal L\{x(t)\}=X(s) e \mathcal L\{y(t)\}=Y(s), usar \mathcal L\{\dot x\}=sX(s)-x(0) e \mathcal L\{\dot y\}=sY(s)-y(0), além de \mathcal L\{\cos t\}=\tfrac{s}{s^2+1} e \mathcal L\{t\}=\tfrac1{s^2}.
Passo 2
Aplicando Laplace em cada equação e inserindo as condições iniciais, obtemos