Resolva os seguntes sistemas usando transformada de Laplace.
b) \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-3 x+4 y+\cos t \\\ \dot{y}=-2 x+3 y+t \\\ x(0)=0, \quad y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} \dot x = -3x + 4y + \cos t,\\\ \dot y = -2x + 3y + t,\\\ x(0)=0,\;y(0)=1
pelas transformadas de Laplace.
Vamos chamar \mathcal L\{x(t)\}=X(s) e \mathcal L\{y(t)\}=Y(s), usar \mathcal L\{\dot x\}=sX(s)-x(0) e \mathcal L\{\dot y\}=sY(s)-y(0), além de \mathcal L\{\cos t\}=\tfrac{s}{s^2+1} e \mathcal L\{t\}=\tfrac1{s^2}.

Passo 2

Aplicando Laplace em cada equação e inserindo as condições iniciais, obtemos
sX(s)-0 = -3X(s)+4Y(s)+\frac{s}{s^2+1},
sY(s)-1 = -2X(s)+3Y(s)+\frac1{s^2}.
Reagrupando, fica o sistema
(s+3)\,X(s) - 4\,Y(s) = \frac{s}{s^2+1},
2\,X(s) + (s-3)\,Y(s) = 1 + \frac1{s^2}.

Passo 3

Resolvendo por Cramer, o determinante comum é
D = (s+3)(s-3) - (-4)\cdot2 = s^2 -9 +8 = s^2-1.
Os numeradores dão
X(s) = \frac{\displaystyle\frac{s(s-3)}{s^2+1} + 4 + \frac4{s^2}}{s^2-1}, \quad Y(s) = \frac{\displaystyle (s+3)\Bigl(1+\frac1{s^2}\Bigr) - \frac{2s}{s^2+1}}{s^2-1}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em X(s) computa-se
X(s) = \frac{s(s-3)}{(s^2+1)(s^2-1)} + \frac4{s^2-1} + \frac4{s^2(s^2-1)}.
Cada pedaço inverte-se para o domínio do tempo:
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s(s-3)}{(s^2+1)(s^2-1)}\Bigr\} =\frac32\cos t+\frac12\sin t -\frac32\operatorname{cosh} t+\frac12\operatorname{sinh} t,
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac4{s^2-1}\Bigr\} =4\cdot\frac12\bigl(e^t-e^{-t}\bigr) =2e^t-2e^{-t},
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac4{s^2(s^2-1)}\Bigr\} =-4t+2e^t-2e^{-t}.
Somando tudo e simplificando exponenciais, chega-se a
x(t) =\tfrac32\cos t+\tfrac12\sin t +\tfrac72\,e^t-5\,e^{-t} -4t.

Passo 5

De modo análogo para Y(s) escrevemos
Y(s) =\frac{s+3}{s^2-1} +\frac{s+3}{s^2(s^2-1)} -\frac{2s}{(s^2+1)(s^2-1)}.
Inversões parciais dão
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s+3}{s^2-1}\Bigr\} =\operatorname{cosh} t+3\operatorname{sinh} t,
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s+3}{s^2(s^2-1)}\Bigr\} =-1-3t+2e^t-e^{-t},
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{-2s}{(s^2+1)(s^2-1)}\Bigr\} =-\operatorname{cosh} t+\cos t.
Somando e combinando termos, obtemos
y(t) =\cos t -1 -3t +\tfrac72\,e^t - \tfrac52\,e^{-t}.

Resposta

x(t)=\displaystyle \frac32\cos t+\frac12\sin t+\frac72e^t-5e^{-t}-4t y(t)=\displaystyle \cos t -1 -3t +\frac72e^t-\frac52e^{-t}

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