Resolva os seguntes sistemas usando transformada de Laplace.
c) \left\{\begin{array}{l}\ddot{x}=y \\\ \dot{y}=2 \dot{x}+y+12 \\\ x(0)=0, \quad \dot{x}(0)=0, \quad y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema dá o sistema
\begin{cases} \ddot x(t)=y(t),\\\ \dot y(t)=2\dot x(t)+y(t)+12, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=0, \dot x(0)=0, y(0)=0.
Vamos usar transformada de Laplace para converter em equações algébricas em s, resolver para X(s)=\mathcal L\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} e então inverter.

Passo 2

Aplico Laplace em \ddot x(t)=y(t). Como \mathcal L\{\ddot x\}=s^2X(s)-s\,x(0)-\dot x(0) e as condições iniciais são zero, fica
s^2X(s)=Y(s).

Passo 3

Aplico Laplace em \dot y(t)=2\dot x(t)+y(t)+12.
- \mathcal L\{\dot y\}=s\,Y(s)-y(0)=s\,Y(s).
- \mathcal L\{2\dot x\}=2\bigl(sX(s)-x(0)\bigr)=2s\,X(s).
- \mathcal L\{y\}=Y(s).
- \mathcal L\{12\}=12\cdot\frac1s.
Logo
s\,Y(s)=2s\,X(s)+Y(s)+\frac{12}{s}.

Passo 4

Reescrevo a equação do passo anterior isolando Y(s):
s\,Y(s)-Y(s)=2s\,X(s)+\frac{12}{s} \quad\Longrightarrow\quad (s-1)\,Y(s)=2s\,X(s)+\frac{12}{s}.
Como do passo 2 temos Y(s)=s^2X(s), substituo e obtenho
(s-1)\,s^2X(s)=2s\,X(s)+\frac{12}{s} \quad\Longrightarrow\quad X(s)\bigl(s^3-s^2-2s\bigr)=\frac{12}{s}.
Note que s^3-s^2-2s = s(s^2-s-2)=s(s-2)(s+1). Portanto
X(s)=\frac{12/s}{s(s-2)(s+1)} =\frac{12}{s^2\,(s-2)(s+1)}.

Passo 5

Usando Y(s)=s^2X(s), obtenho diretamente
Y(s)=\frac{12}{(s-2)(s+1)}.

Passo 6

Faço frações parciais em
Y(s)=\frac{12}{(s-2)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando 12 = A(s+1)+B(s-2). Para s=2 12=3A\Rightarrow A=4. Para s=-1 12=-3B\Rightarrow B=-4.
Logo
Y(s)=\frac{4}{s-2}-\frac{4}{s+1} \quad\Longrightarrow\quad y(t)=4e^{2t}-4e^{-t}.

Passo 7

Agora faço frações parciais em
X(s)=\frac{12}{s^2(s-2)(s+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-2}+\frac{D}{s+1}.
Multiplicando por s^2(s-2)(s+1) e comparando em s=0,2,-1:
  • s=0: 12=B\cdot(-2)(1)\Rightarrow B=-6.
  • s=2: 12=C\cdot4\cdot3\Rightarrow C=1.
  • s=-1: 12=D\cdot1\cdot(-3)\Rightarrow D=-4.
    Para achar A, avalio em s=1:
12=A\cdot1\cdot(-1)\cdot2\;+\;B(-1\cdot2)\;+\;C(1\cdot2)\;+\;D(1\cdot(-1)),
substituindo B=-6, C=1, D=-4 encontro A=3.
Então
X(s)=\frac{3}{s}-\frac{6}{s^2}+\frac{1}{s-2}-\frac{4}{s+1}
e, invertendo,
x(t)=3-6t+e^{2t}-4e^{-t}.

Resposta

\boxed{x(t)=3-6t+e^{2t}-4e^{-t},\quad y(t)=4e^{2t}-4e^{-t}.}

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