Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O problema pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. O enunciado fornece:
O que se quer: encontrar as funções
(família geral de soluções) que satisfazem essa equação. Não há condições iniciais fornecidas, então vamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando uma equação diferencial pode ser escrita na forma
podemos “separar as variáveis” colocando todos os termos com
em um lado e todos os termos com
no outro:
e então integrar ambos os lados. Essa operação é válida em intervalos onde
e as funções são contínuas. Aqui temos
e
. Observe que
exige
, ou seja
; ao separar vamos trabalhar no caso
para poder dividir por
.
Para a equação dada separamos as variáveis:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a integral do lado esquerdo: a função cuja derivada é
é
, porque
Portanto, integrar ambos os lados dá
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário).
Passo 4
A partir de
podemos, se quisermos, isolar
aplicando a função seno em ambos os lados. Isso fornece a forma explícita da solução:
onde
. Essa é a família geral de soluções obtida pela separação de variáveis (definida em intervalos onde tudo é contínuo e onde a inversa e a direta das funções envolvidas fazem sentido).
Passo 5
Verificação (rápida e útil para a prova): se
, derivando implicitamente em relação a
obtemos
ou seja
que é exatamente a equação original. Esta verificação evita problemas de sinal que aparecem se tentarmos diretamente derivar
sem cuidar dos ramos da raiz quadrada — por isso usar a forma invertida com
e derivar implicitamente é um caminho seguro.
Passo 6
Soluções constantes especiais: note também que
e
são soluções da equação original, porque para essas funções
e então
coincide com o lado direito
. Essas soluções constantes correspondem aos casos limite
, que não estão no domínio de
usado na separação, por isso vale a pena mencioná-las separadamente.