Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}=x \sqrt{1-y^{2}}

Passo 1

O problema pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. O enunciado fornece:
\frac{d y}{d x}=x \sqrt{1-y^{2}}
O que se quer: encontrar as funções y(x) (família geral de soluções) que satisfazem essa equação. Não há condições iniciais fornecidas, então vamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando uma equação diferencial pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=G(x)\,H(y),
podemos “separar as variáveis” colocando todos os termos com y em um lado e todos os termos com x no outro:
\frac{1}{H(y)}\,dy = G(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Essa operação é válida em intervalos onde H(y)\neq0 e as funções são contínuas. Aqui temos G(x)=x e H(y)=\sqrt{1-y^{2}}. Observe que \sqrt{1-y^{2}} exige 1-y^{2}\ge0, ou seja y\in[-1,1]; ao separar vamos trabalhar no caso |y|<1 para poder dividir por \sqrt{1-y^{2}}.
Para a equação dada separamos as variáveis:
\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy = x\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a integral do lado esquerdo: a função cuja derivada é \dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} é \arcsin(y), porque
\frac{d}{dy}\big(\arcsin(y)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}.
Portanto, integrar ambos os lados dá
\int \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy = \int x\,dx
\arcsin(y) = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário).

Passo 4

A partir de \arcsin(y)=\dfrac{x^{2}}{2}+C podemos, se quisermos, isolar y aplicando a função seno em ambos os lados. Isso fornece a forma explícita da solução:
y=\sin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right),
onde C\in\mathbb{R}. Essa é a família geral de soluções obtida pela separação de variáveis (definida em intervalos onde tudo é contínuo e onde a inversa e a direta das funções envolvidas fazem sentido).

Passo 5

Verificação (rápida e útil para a prova): se \arcsin(y)=\dfrac{x^{2}}{2}+C, derivando implicitamente em relação a x obtemos
\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\,\frac{dy}{dx}=x,
ou seja
\frac{dy}{dx}=x\sqrt{1-y^{2}},
que é exatamente a equação original. Esta verificação evita problemas de sinal que aparecem se tentarmos diretamente derivar y=\sin(\cdot) sem cuidar dos ramos da raiz quadrada — por isso usar a forma invertida com \arcsin e derivar implicitamente é um caminho seguro.

Passo 6

Soluções constantes especiais: note também que y\equiv 1 e y\equiv -1 são soluções da equação original, porque para essas funções \sqrt{1-y^{2}}=0 e então \dfrac{dy}{dx}=0 coincide com o lado direito x\cdot 0=0. Essas soluções constantes correspondem aos casos limite y=\pm1, que não estão no domínio de \dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} usado na separação, por isso vale a pena mencioná-las separadamente.

Resposta

y=\sin\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}+C\right),\quad C\in\mathbb{R}
y\equiv 1
y\equiv -1

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