Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d S}{d r}=k S

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. Os dados fornecidos são:
  • A equação diferencial é \dfrac{dS}{dr}=kS.
  • Aqui S é a função incógnita de r e k é um parâmetro (assume-se que k é constante).
    O objetivo é encontrar a solução geral S(r) usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Entendendo a ideia de separação de variáveis (explicação didática curta e direta).
  • Em separação de variáveis queremos rearranjar a equação de modo que todos os fatores que dependem de S fiquem de um lado e todos os fatores que dependem de r fiquem do outro lado.
  • Depois integramos cada lado em relação à sua variável. Isso transforma a equação diferencial em uma equação entre antiderivadas, da qual obtemos a solução geral.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis à equação dada.
  • Partimos de \dfrac{dS}{dr}=kS.
  • Colocamos os termos com S no lado esquerdo e os termos com r no direito:
\frac{dS}{S}=k\,dr.
Essa manipulação é válida sempre que S\neq 0; o caso S\equiv 0 também será considerado depois (é solução trivial).

Passo 4

Integramos ambos os lados.
  • Integramos em relação às suas variáveis:
\int \frac{dS}{S}=\int k\,dr.
  • A antiderivada de \dfrac{1}{S} é \ln|S| e a antiderivada de k em relação a r é kr (pois k é constante). Assim:
\ln|S|=kr+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando S e interpretando a constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados:
|S|=e^{kr+C}=e^{C}e^{kr}.
  • Escrevendo e^{C} como uma constante positiva A>0 e removendo o valor absoluto ao permitir que a constante assuma sinal, obtemos a forma geral
S(r)=C_{1}e^{kr},
onde C_{1} é uma constante arbitrária real (pode ser positiva, negativa ou zero). Note que a solução S(r)\equiv 0 corresponde a C_{1}=0.

Passo 6

Comentário final, interpretação e exemplo prático.
  • Portanto a família de soluções é \;S(r)=C_{1}e^{kr}\; com C_{1}\in\mathbb{R}.
  • Interpretação rápida: se k>0 há crescimento exponencial, se k<0 há decaimento exponencial, e se k=0 a solução é constante \;S(r)=C_{1}.
  • Exemplo concreto: se k=2 e a condição inicial for S(0)=3, então C_{1}=3 e \;S(r)=3e^{2r}.

Resposta

\displaystyle S(r)=C\,e^{kr}, onde C é uma constante real.

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