Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. Os dados fornecidos são:
- A equação diferencial é
. - Aqui
é a função incógnita de e é um parâmetro (assume-se que é constante).
O objetivo é encontrar a solução geralusando o método de separação de variáveis.
Passo 2
Entendendo a ideia de separação de variáveis (explicação didática curta e direta).
- Em separação de variáveis queremos rearranjar a equação de modo que todos os fatores que dependem de
fiquem de um lado e todos os fatores que dependem de fiquem do outro lado. - Depois integramos cada lado em relação à sua variável. Isso transforma a equação diferencial em uma equação entre antiderivadas, da qual obtemos a solução geral.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis à equação dada.
- Partimos de
. - Colocamos os termos com
no lado esquerdo e os termos com no direito:
Essa manipulação é válida sempre que
; o caso
também será considerado depois (é solução trivial).
Passo 4
Integramos ambos os lados.
- Integramos em relação às suas variáveis:
- A antiderivada de
é e a antiderivada de em relação a é (pois é constante). Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando
e interpretando a constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados:
- Escrevendo
como uma constante positiva e removendo o valor absoluto ao permitir que a constante assuma sinal, obtemos a forma geral
onde
é uma constante arbitrária real (pode ser positiva, negativa ou zero). Note que a solução
corresponde a
.
Passo 6
Comentário final, interpretação e exemplo prático.
- Portanto a família de soluções é
com . - Interpretação rápida: se
há crescimento exponencial, se há decaimento exponencial, e se a solução é constante . - Exemplo concreto: se
e a condição inicial for , então e .