Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial é
-
O pedido explícito: resolver a equação (isto é, encontrar a família de soluções
) usando o método de separação de variáveis. -
Observações de consistência (dados extraídos da própria equação):
- O denominador pode anular-se quando
ou , isto é, em ou . Nesses pontos a expressão à direita fica indefinida (divisão por zero). - O numerador pode anular-se quando
ou , isto é, em ou .
- O denominador pode anular-se quando
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro vamos manipular algebricamente a fração do lado direito para ver se ela se separa em uma função de
vezes uma função de
. Reescrevendo o numerador e o denominador e fatorando por agrupamento:
- Numerador:
- Denominador:
Portanto a equação fica
Agora observamos que a fração é produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
— isso sugere que a equação é separável.
Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por
e por
, obtendo
Agora sim temos as variáveis separadas: todos os termos em
do lado esquerdo e todos os termos em
do lado direito.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, é conveniente simplificar as frações do integrando via divisão algébrica simples (ou reescrever como soma):
- Para
:
Explicação didática curta: escrevemos
como
para dividir por
facilmente — isso transforma a fração em uma soma de termos fáceis de integrar.
- Para
:
Agora integramos cada lado:
Aqui usamos a regra básica:
-
. -
(a integral de é , com ).
Portanto o lado esquerdo dá
Analogamente para o lado direito:
Não esqueça a constante de integração: ao integrar ambos os lados, podemos colocar uma só constante
no final.
Passo 4
Igualando as primitivas (e incluindo a constante de integração
), obtemos a solução implícita geral:
onde
é uma constante real arbitrária.
Podemos reescrever isolando termos para ficar mais compacto:
Observações importantes (úteis para prova e entendimento):
- A solução acima é implícita: normalmente não é possível isolar
em função elementar de porque aparece dentro de um log e fora dele. Em muitos problemas isso é aceito como forma final. - Domínio: a solução é válida nos intervalos onde
(para que faça sentido, embora o log admita argumento positivo; usamos valor absoluto para cobrir casos) e . Além disso, pontos onde o denominador original se anula ( ou ) são singularidades da equação original. - Solução singular constante: observe que
é uma solução particular. Verificação rápida: se então o numerador é zero para todo , e desde que o denominador não seja zero (isto é, ) a razãodiferencial é zero, o que corresponde a , compatível com constante. Logo é solução singular (constante) válida em intervalos que não contenham . - A função constante
não é solução, pois aí o denominador da expressão original fica zero e a equação não é definida (salvo no ponto isolado onde o numerador também zera, mas isso não cria uma solução contínua).