Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+3 x-y-3}{x y-2 x+4 y-8}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial é
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+3 x-y-3}{x y-2 x+4 y-8}.
  • O pedido explícito: resolver a equação (isto é, encontrar a família de soluções y(x)) usando o método de separação de variáveis.
  • Observações de consistência (dados extraídos da própria equação):
    • O denominador pode anular-se quando x+4=0 ou y-2=0, isto é, em x=-4 ou y=2. Nesses pontos a expressão à direita fica indefinida (divisão por zero).
    • O numerador pode anular-se quando x-1=0 ou y+3=0, isto é, em x=1 ou y=-3.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro vamos manipular algebricamente a fração do lado direito para ver se ela se separa em uma função de x vezes uma função de y. Reescrevendo o numerador e o denominador e fatorando por agrupamento:
  • Numerador:
x y+3 x-y-3 = x(y+3) -1(y+3) = (x-1)(y+3).
  • Denominador:
x y-2 x+4 y-8 = x(y-2) +4(y-2) = (x+4)(y-2).
Portanto a equação fica
\frac{d y}{d x}=\frac{(x-1)(y+3)}{(x+4)(y-2)}.
Agora observamos que a fração é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y — isso sugere que a equação é separável.
Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por (y-2)/(y+3) e por dx, obtendo
\frac{y-2}{y+3}\,dy=\frac{x-1}{x+4}\,dx.
Agora sim temos as variáveis separadas: todos os termos em y do lado esquerdo e todos os termos em x do lado direito.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, é conveniente simplificar as frações do integrando via divisão algébrica simples (ou reescrever como soma):
  • Para y:
\frac{y-2}{y+3} = \frac{(y+3)-5}{y+3} = 1 - \frac{5}{y+3}.
Explicação didática curta: escrevemos y-2 como (y+3)-5 para dividir por y+3 facilmente — isso transforma a fração em uma soma de termos fáceis de integrar.
  • Para x:
\frac{x-1}{x+4} = \frac{(x+4)-5}{x+4} = 1 - \frac{5}{x+4}.
Agora integramos cada lado:
\int \frac{y-2}{y+3}\,dy = \int\!\left(1 - \frac{5}{y+3}\right) dy = \int 1\,dy - 5\int \frac{1}{y+3}\,dy.
Aqui usamos a regra básica:
  • \int 1\,dy = y.
  • \int \frac{1}{y+3}\,dy = \ln|y+3| (a integral de 1/u é \ln|u|, com u=y+3).
Portanto o lado esquerdo dá
y - 5\ln|y+3|.
Analogamente para o lado direito:
\int \frac{x-1}{x+4}\,dx = \int\!\left(1 - \frac{5}{x+4}\right)dx = x - 5\ln|x+4|.
Não esqueça a constante de integração: ao integrar ambos os lados, podemos colocar uma só constante C no final.

Passo 4

Igualando as primitivas (e incluindo a constante de integração C), obtemos a solução implícita geral:
y - 5\ln|y+3| = x - 5\ln|x+4| + C,
onde C é uma constante real arbitrária.
Podemos reescrever isolando termos para ficar mais compacto:
y - x - 5\ln\left|\frac{y+3}{x+4}\right| = C.
Observações importantes (úteis para prova e entendimento):
  • A solução acima é implícita: normalmente não é possível isolar y em função elementar de x porque aparece y dentro de um log e fora dele. Em muitos problemas isso é aceito como forma final.
  • Domínio: a solução é válida nos intervalos onde y\neq -3 (para que \ln|y+3| faça sentido, embora o log admita argumento positivo; usamos valor absoluto para cobrir casos) e x\neq -4. Além disso, pontos onde o denominador original se anula ( y=2 ou x=-4) são singularidades da equação original.
  • Solução singular constante: observe que y(x)\equiv -3 é uma solução particular. Verificação rápida: se y=-3 então o numerador (x-1)(y+3) é zero para todo x, e desde que o denominador não seja zero (isto é, x\neq -4) a razãodiferencial é zero, o que corresponde a dy/dx=0, compatível com y constante. Logo y\equiv -3 é solução singular (constante) válida em intervalos que não contenham x=-4.
  • A função constante y\equiv 2 não é solução, pois aí o denominador da expressão original fica zero e a equação não é definida (salvo no ponto isolado x=1 onde o numerador também zera, mas isso não cria uma solução contínua).

Resposta

y - 5\ln|y+3| = x - 5\ln|x+4| + C
y(x)\equiv -3 \quad\text{(solução singular)}çã

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