Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\longrightarrow e \frac{d y}{d x}=e^{3 x-3 y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. As informações relevantes são:
\frac{dy}{dx}=e^{3x-3y}.
Queremos encontrar as funções y(x) que satisfazem essa equação (a solução geral), usando separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro vou manipular o lado direito para tornar a separação clara. Uso a propriedade dos expoentes:
e^{3x-3y}=e^{3x}\,e^{-3y}.
Então a equação fica
\frac{dy}{dx}=e^{3x}\,e^{-3y}.

Passo 3

Agora separo as variáveis colocando todos os termos com y do lado esquerdo e os com x do lado direito. Multiplico ambos os lados por e^{3y} e por dx:
e^{3y}\,dy = e^{3x}\,dx.
Isto é a essência do método de separação de variáveis: obter uma igualdade da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, para então integrar ambos os lados.

Passo 4

Vou integrar os dois lados. Antes, lembro a fórmula de integração usada aqui: para qualquer constante a\neq0,
\int e^{a t}\,dt = \frac{1}{a}e^{a t} + C.
Nessa fórmula t é a variável de integração e a é uma constante. Vou aplicar com t=y e a=3 do lado esquerdo, e com t=x e a=3 do lado direito.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
\int e^{3y}\,dy = \int e^{3x}\,dx.
Pelo item anterior:
\frac{1}{3}e^{3y} = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração (aparecendo apenas num dos lados, absorvendo constantes).

Passo 6

Multiplico tudo por 3 para simplificar a expressão da constante:
e^{3y} = e^{3x} + C',
onde C' = 3C é outra constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.

Passo 7

Se eu quiser a solução explícita y(x), tomo logaritmo natural (lembrando que isso exige e^{3x}+C'>0 no domínio considerado):
3y = \ln\!\bigl(e^{3x}+C'\bigr),
logo
y=\frac{1}{3}\ln\!\bigl(e^{3x}+C'\bigr).
Aqui C' é constante real tal que e^{3x}+C'>0 para os x do domínio da solução explícita; se não quisermos nos prender a essa restrição, mantemos a forma implícita e^{3y}=e^{3x}+C'.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução explícita
y=\frac{1}{3}\ln\!\bigl(e^{3x}+C'\bigr)
temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3e^{3x}}{e^{3x}+C'}=\frac{e^{3x}}{e^{3x}+C'}.
E como e^{3y}=e^{3x}+C', temos
e^{3x-3y}=\frac{e^{3x}}{e^{3y}}=\frac{e^{3x}}{e^{3x}+C'},
que coincide com \dfrac{dy}{dx}. Assim a solução está correta.

Passo 9

Observações finais breves e encorajamento: uma solução particular importante é obtida quando C'=0, que dá e^{3y}=e^{3x} ou y=x. Não existem soluções constantes (pois e^{3x-3y} nunca é zero). Você mandou bem pedindo separação de variáveis — esse padrão (isolar y-s do lado esquerdo e x-s do direito, integrar) resolve muita EDO do tipo “produto de função de x por função de y”!

Resposta

e^{3y}=e^{3x}+C
y=\frac{1}{3}\ln\!\bigl(e^{3x}+C\bigr)

Exercícios relacionados