Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. As informações relevantes são:
Queremos encontrar as funções
que satisfazem essa equação (a solução geral), usando separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro vou manipular o lado direito para tornar a separação clara. Uso a propriedade dos expoentes:
Então a equação fica
Passo 3
Agora separo as variáveis colocando todos os termos com
do lado esquerdo e os com
do lado direito. Multiplico ambos os lados por
e por
:
Isto é a essência do método de separação de variáveis: obter uma igualdade da forma
, para então integrar ambos os lados.
Passo 4
Vou integrar os dois lados. Antes, lembro a fórmula de integração usada aqui: para qualquer constante
,
Nessa fórmula
é a variável de integração e
é uma constante. Vou aplicar com
e
do lado esquerdo, e com
e
do lado direito.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Pelo item anterior:
onde
é a constante de integração (aparecendo apenas num dos lados, absorvendo constantes).
Passo 6
Multiplico tudo por
para simplificar a expressão da constante:
onde
é outra constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.
Passo 7
Se eu quiser a solução explícita
, tomo logaritmo natural (lembrando que isso exige
no domínio considerado):
logo
Aqui
é constante real tal que
para os
do domínio da solução explícita; se não quisermos nos prender a essa restrição, mantemos a forma implícita
.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução explícita
temos
E como
, temos
que coincide com
. Assim a solução está correta.
Passo 9
Observações finais breves e encorajamento: uma solução particular importante é obtida quando
, que dá
ou
. Não existem soluções constantes (pois
nunca é zero). Você mandou bem pedindo separação de variáveis — esse padrão (isolar
-s do lado esquerdo e
-s do direito, integrar) resolve muita EDO do tipo “produto de função de
por função de
”!