Um balonista resolve sobrevoar o pico do Everest, todavia a certa altura do voo seu altímetro quebra, restando a ele o seu barômetro e termômetro para estimar a altitude, com o auxilio de engenheiros da equipe de terra, utilizando radio, foi possível estimar cada posição importante atingida. Determine, utilizando as equações adequadas, a primeira altitude que ele demandou a equipe de terra considerando os seguintes dados: ( -17^{\circ} \mathrm{C}, 35.200 \mathrm{~Pa} ) e pressão ao nivel do mar ( 5^{\circ} \mathrm{C}, 102.000 \mathrm{~Pa} )
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede.\n
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado): ponto no voo do balonista com temperatura -17^\circ\mathrm{C} e pressão 35\,200\\ \mathrm{Pa}. Pressão ao nível do mar: 102\,000\\ \mathrm{Pa} com temperatura 5^\circ\mathrm{C}.\n
Pedido: determinar a altitude do balonista em relação ao nível do mar (a primeira altitude que ele informou à equipe de terra), usando equações adequadas.\n
Observação importante: temos pressão e temperatura nos dois níveis (nível do mar e posição do balão). Vamos usar a relação entre pressão e altitude (equação barométrica / equação hipométrica) que vem da hidrostaticidade + equação dos gases ideais. A resolução real começa a seguir.
Passo 2
Princípio físico básico — balanço hidrostático e lei dos gases ideais.\n
Equação hidrostática (força peso equilibrada por diferença de pressão): \displaystyle \frac{dp}{dz}=-\rho g, onde \rho é a densidade do ar, g é a aceleração da gravidade e z é a altitude.\n
Equação dos gases ideais para ar seco: \displaystyle p=\rho R_d T, onde p é a pressão, T é a temperatura absoluta (Kelvin) e R_d é a constante específica do ar seco.\n
Combinar essas duas equações permite eliminar \rho e relacionar dp/p com dz e T.
Passo 3
Derivar a equação hipométrica (a que vamos usar).\n
Substituindo \rho=\dfrac{p}{R_d T} na equação hidrostática obtemos:
\frac{dp}{dz}=-\frac{p}{R_d T}\,g.
Rearranjando:
\frac{dp}{p}=-\frac{g}{R_d T}\,dz.
Integrando entre o nível do mar (subscrito 0) e a altitude do balão (subscrito 1). Se tomarmos uma temperatura média \overline{T} entre os dois níveis (aproximação razoável quando a variação de T não é estranha), a integral dá:
Essa é a equação hipométrica — diz em palavras: a diferença de altitude depende do logaritmo da razão de pressões e da temperatura média entre as camadas.
Passo 4
Decidir como estimar a temperatura média \overline{T}.\n
Temos temperatura no nível do mar T_0=5^\circ\mathrm{C} e temperatura no balão T_1=-17^\circ\mathrm{C}. Convertemos para Kelvin:\n
Interpretação: a altitude estimada do balonista em relação ao nível do mar é cerca de 8{,}32\times10^{3}\\ \mathrm{m}, ou aproximadamente 8\,320\\ \mathrm{m}. Isso faz sentido físico: é menor que o cume do Everest (\approx 8{,}848\\ \mathrm{m}), mas na faixa elevada esperada para pressões tão baixas.