Um balonista resolve sobrevoar o pico do Everest, todavia a certa altura do voo seu altímetro quebra, restando a ele o seu barômetro e termômetro para estimar a altitude, com o auxilio de engenheiros da equipe de terra, utilizando radio, foi possível estimar cada posição importante atingida. Determine, utilizando as equações adequadas, a primeira altitude que ele demandou a equipe de terra considerando os seguintes dados: ( -17^{\circ} \mathrm{C}, 35.200 \mathrm{~Pa} ) e pressão ao nivel do mar ( 5^{\circ} \mathrm{C}, 102.000 \mathrm{~Pa} )

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.\n
  • Dados fornecidos (peguei-os do enunciado): ponto no voo do balonista com temperatura -17^\circ\mathrm{C} e pressão 35\,200\\ \mathrm{Pa}. Pressão ao nível do mar: 102\,000\\ \mathrm{Pa} com temperatura 5^\circ\mathrm{C}.\n
  • Pedido: determinar a altitude do balonista em relação ao nível do mar (a primeira altitude que ele informou à equipe de terra), usando equações adequadas.\n
  • Observação importante: temos pressão e temperatura nos dois níveis (nível do mar e posição do balão). Vamos usar a relação entre pressão e altitude (equação barométrica / equação hipométrica) que vem da hidrostaticidade + equação dos gases ideais. A resolução real começa a seguir.

Passo 2

Princípio físico básico — balanço hidrostático e lei dos gases ideais.\n
  • Equação hidrostática (força peso equilibrada por diferença de pressão): \displaystyle \frac{dp}{dz}=-\rho g, onde \rho é a densidade do ar, g é a aceleração da gravidade e z é a altitude.\n
  • Equação dos gases ideais para ar seco: \displaystyle p=\rho R_d T, onde p é a pressão, T é a temperatura absoluta (Kelvin) e R_d é a constante específica do ar seco.\n
    Combinar essas duas equações permite eliminar \rho e relacionar dp/p com dz e T.

Passo 3

Derivar a equação hipométrica (a que vamos usar).\n
  • Substituindo \rho=\dfrac{p}{R_d T} na equação hidrostática obtemos:
\frac{dp}{dz}=-\frac{p}{R_d T}\,g.
  • Rearranjando:
\frac{dp}{p}=-\frac{g}{R_d T}\,dz.
  • Integrando entre o nível do mar (subscrito 0) e a altitude do balão (subscrito 1). Se tomarmos uma temperatura média \overline{T} entre os dois níveis (aproximação razoável quando a variação de T não é estranha), a integral dá:
\ln\!\left(\frac{p_0}{p_1}\right)=\frac{g}{R_d\,\overline{T}}\,(z_1-z_0).
  • Resolver para a diferença de altitude z_1-z_0:
z_1-z_0=\frac{R_d\,\overline{T}}{g}\,\ln\!\left(\frac{p_0}{p_1}\right).
Essa é a equação hipométrica — diz em palavras: a diferença de altitude depende do logaritmo da razão de pressões e da temperatura média entre as camadas.

Passo 4

Decidir como estimar a temperatura média \overline{T}.\n
  • Temos temperatura no nível do mar T_0=5^\circ\mathrm{C} e temperatura no balão T_1=-17^\circ\mathrm{C}. Convertemos para Kelvin:\n
T_0 = 5^\circ\mathrm{C}=278{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_1=-17^\circ\mathrm{C}=256{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Como não temos o perfil detalhado de temperatura entre os níveis, usamos a média aritmética como aproximação da \overline{T}:
\overline{T}=\frac{T_0+T_1}{2}=\frac{278{,}15+256{,}15}{2}=267{,}15\\ \mathrm{K}.
Isso é uma escolha padrão simples e adequada para um exercício prático como este.

Passo 5

Listar constantes e valores numéricos a usar (tudo em TeX e unidades).\n
  • p_0=102\,000\\ \mathrm{Pa} (pressão no nível do mar, dado)\n
  • p_1=35\,200\\ \mathrm{Pa} (pressão medida no balão, dado)\n
  • \overline{T}=267{,}15\\ \mathrm{K} (calculado no passo anterior)\n
  • Constante do ar seco: R_d=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\n
  • Gravidade: g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}

Passo 6

Aplicar a equação hipométrica e preparar os cálculos.\n
A equação é
z_1-z_0=\frac{R_d\,\overline{T}}{g}\,\ln\!\left(\frac{p_0}{p_1}\right).
Vamos calcular primeiro o fator \dfrac{R_d\,\overline{T}}{g}. Substituindo:
\frac{R_d\,\overline{T}}{g}=\frac{287{,}05\cdot 267{,}15}{9{,}80665}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular numericamente o fator \dfrac{R_d\,\overline{T}}{g}.\n
  • Multiplicação no numerador:
287{,}05\cdot 267{,}15 = 76\,685{,}4075\\ (\text{unidade: J/kg}).
  • Dividindo por g:
\frac{76\,685{,}4075}{9{,}80665}\approx 7\,827{,}8\\ \mathrm{m}.
Ou seja,
\frac{R_d\,\overline{T}}{g}\approx 7\,827{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular o logaritmo natural da razão de pressões.\n
  • Razão de pressões:
\frac{p_0}{p_1}=\frac{102\,000}{35\,200}\approx 2{,}897727.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{p_0}{p_1}\right)=\ln(2{,}897727)\approx 1{,}06294.

Passo 9

Multiplicar para obter a diferença de altitude e interpretar.\n
  • Usando os valores numéricos:
z_1-z_0 \approx 7\,827{,}8\\ \mathrm{m}\times 1{,}06294 \approx 8\,320\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: a altitude estimada do balonista em relação ao nível do mar é cerca de 8{,}32\times10^{3}\\ \mathrm{m}, ou aproximadamente 8\,320\\ \mathrm{m}. Isso faz sentido físico: é menor que o cume do Everest ( \approx 8{,}848\\ \mathrm{m}), mas na faixa elevada esperada para pressões tão baixas.

Resposta

8\,320\\ \mathrm{m}

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