Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. A equação que temos é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação está na forma
e
)}). - Foi indicado o método: separação de variáveis (devemos escrever os termos envolvendo
e de um lado e os termos envolvendo e do outro).
Passo 2
Vamos manipular a equação para separar os
de um lado e os
do outro. Primeiro fatoramos o lado direito:
Substituindo de volta na equação:
Agora isolamos
dividindo por
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando para separar variáveis:
Pronto: o lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
, o que permite integrar.
Passo 3
Explicando a ideia da separação de variáveis (rapidinho e claro): se uma equação pode ser colocada na forma
, então integra-se ambos os lados e obtém-se
Aqui aplicamos exatamente isso com
e
. Então vamos calcular as duas integrais.
Passo 4
Calcular a integral do lado esquerdo. Precisamos de
Usamos integração por partes. Regra rápida: para
. Tomamos
e
, logo
e
. Aplicando:
Podemos escrever de forma compacta:
Passo 5
Calcular a integral do lado direito. Temos
Cada uma é uma exponencial simples:
Somando (absorvendo constantes em uma só):
Passo 6
Agora igualamos as primitivas obtidas (lado esquerdo = lado direito) e reunimos a constante de integração em um único
:
Podemos reorganizar colocando todos os termos do lado esquerdo e deixando
à direita:
Isto é uma solução implícita da equação diferencial. Observação útil: isolar
explicitamente em função de
exigiria resolver uma equação do tipo
(algo), o que leva ao uso da função de Lambert
; não é necessário para a maioria dos exercícios de separação de variáveis e a forma implícita acima é a solução geral aceitável.
Passo 7
(pequena verificação — para consolidar a ideia) Diferenciando implicitamente a expressão
em relação a
deve reproduzir a equação original. Calculando a derivada do primeiro termo usando a regra do produto e da cadeia:
A derivada dos outros termos é
, e como a derivada do lado direito
é zero obtemos
ou seja
recuperando exatamente a equação original (após multiplicar por
se for preciso). Isso confirma que a solução implícita está correta.