Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
e^{x} y \frac{d y}{d x}=e^{-y}+e^{-2 x-y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. A equação que temos é
e^{x} y \frac{d y}{d x}=e^{-y}+e^{-2 x-y}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação está na forma e^{x}y\,\dfrac{dy}{dx}=\text{(algo em \(x e y)}).
  • Foi indicado o método: separação de variáveis (devemos escrever os termos envolvendo y e dy de um lado e os termos envolvendo x e dx do outro).

Passo 2

Vamos manipular a equação para separar os y de um lado e os x do outro. Primeiro fatoramos o lado direito:
e^{-y}+e^{-2x-y}=e^{-y}\bigl(1+e^{-2x}\bigr).
Substituindo de volta na equação:
e^{x} y \frac{d y}{d x}=e^{-y}\bigl(1+e^{-2x}\bigr).
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo por e^{x}:
y\,e^{y}\frac{d y}{d x}=e^{-x}\bigl(1+e^{-2x}\bigr).
Multiplicando ambos os lados por dx e reorganizando para separar variáveis:
y\,e^{y}\,dy = e^{-x}\bigl(1+e^{-2x}\bigr)\,dx.
Pronto: o lado esquerdo depende só de y e o lado direito só de x, o que permite integrar.

Passo 3

Explicando a ideia da separação de variáveis (rapidinho e claro): se uma equação pode ser colocada na forma \varphi(y)\,dy = \psi(x)\,dx, então integra-se ambos os lados e obtém-se
\int \varphi(y)\,dy = \int \psi(x)\,dx + C.
Aqui aplicamos exatamente isso com \varphi(y)=y e^{y} e \psi(x)=e^{-x}(1+e^{-2x}). Então vamos calcular as duas integrais.

Passo 4

Calcular a integral do lado esquerdo. Precisamos de
\int y\,e^{y}\,dy.
Usamos integração por partes. Regra rápida: para \int u\,dv = u v - \int v\,du. Tomamos u=y e dv=e^{y}dy, logo du=dy e v=e^{y}. Aplicando:
\int y\,e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C.
Podemos escrever de forma compacta:
\int y\,e^{y}\,dy = e^{y}(y-1) + C.

Passo 5

Calcular a integral do lado direito. Temos
\int e^{-x}\bigl(1+e^{-2x}\bigr)\,dx = \int e^{-x}\,dx + \int e^{-3x}\,dx.
Cada uma é uma exponencial simples:
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C_1, \qquad \int e^{-3x}\,dx = -\tfrac{1}{3}e^{-3x} + C_2.
Somando (absorvendo constantes em uma só):
\int e^{-x}\bigl(1+e^{-2x}\bigr)\,dx = -e^{-x} - \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C.

Passo 6

Agora igualamos as primitivas obtidas (lado esquerdo = lado direito) e reunimos a constante de integração em um único C:
e^{y}(y-1) = -e^{-x} - \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C.
Podemos reorganizar colocando todos os termos do lado esquerdo e deixando C à direita:
e^{y}(y-1) + e^{-x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} = C.
Isto é uma solução implícita da equação diferencial. Observação útil: isolar y explicitamente em função de x exigiria resolver uma equação do tipo y e^{y} = (algo), o que leva ao uso da função de Lambert W; não é necessário para a maioria dos exercícios de separação de variáveis e a forma implícita acima é a solução geral aceitável.

Passo 7

(pequena verificação — para consolidar a ideia) Diferenciando implicitamente a expressão
e^{y}(y-1) + e^{-x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} = C
em relação a x deve reproduzir a equação original. Calculando a derivada do primeiro termo usando a regra do produto e da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}(y-1)\bigr)=\bigl(e^{y}(y-1)\bigr)'\! = e^{y}\frac{dy}{dx}(y-1) + e^{y}\frac{dy}{dx} = e^{y}y\frac{dy}{dx}.
A derivada dos outros termos é -e^{-x}-e^{-3x}, e como a derivada do lado direito C é zero obtemos
e^{y}y\frac{dy}{dx} - e^{-x} - e^{-3x}=0,
ou seja
e^{x} y \frac{dy}{dx} = e^{-y} + e^{-2x-y},
recuperando exatamente a equação original (após multiplicar por e^{x-y} se for preciso). Isso confirma que a solução implícita está correta.

Resposta

e^{y}(y-1) + e^{-x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} = C

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