Encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição I por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
e^{y} d x-e^{-x} d y=0, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que o problema pede.
  • Equação diferencial: e^{y}\,dx - e^{-x}\,dy = 0.
  • Condição inicial: y(0)=0.
O que é pedido:
  1. Encontrar uma solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
  2. Determinar o intervalo exato de definição I da solução (o maior intervalo aberto contendo x=0 onde a solução está bem definida).
  3. Gerar um gráfico da solução usando um software gráfico (vou fornecer um código pronto para você rodar).

Passo 2

Colocar a equação em forma de derivada e separar variáveis.
A equação diferencial pode ser rearranjada para ter dy/dx isolado. A partir de e^{y}\,dx - e^{-x}\,dy = 0 temos:
e^{y}\,dx = e^{-x}\,dy.
Dividindo ambos os lados por dx e por e^{y} obtemos a forma usual:
\frac{dy}{dx} = e^{x+y}.
Agora aplicamos o método das variáveis separáveis: colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Escrevendo e^{x+y}=e^{x}e^{y} obtemos
\frac{dy}{e^{y}} = e^{x}\,dx.
Explicando o método (rapidinho e de leve): separar variáveis significa escrever a diferencial de modo que só tenhamos funções de y multiplicando dy num lado e só funções de x multiplicando dx no outro; daí integramos ambos os lados. Esse método é válido enquanto e^{y} e e^{x} forem contínuas (o que acontece sempre), então podemos integrar.

Passo 3

Integrar ambos os lados e introduzir a constante de integração.
Integramos:
\int \frac{dy}{e^{y}} = \int e^{x}\,dx.
Calcule as duas integrais. À esquerda, 1/e^{y}=e^{-y} e \int e^{-y}\,dy = -e^{-y}. À direita, \int e^{x}\,dx = e^{x}. Portanto obtemos
-e^{-y} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usar a condição inicial para determinar a constante C e isolar y.
A condição inicial é y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 na relação obtida:
- e^{-0} = e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad -1 = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -2.
Logo a solução implícita com a constante é
- e^{-y} = e^{x} - 2.
Isolando e^{-y} e depois y obtemos
e^{-y} = 2 - e^{x},
y = -\ln\!\big(2 - e^{x}\big).
Aqui usei que e^{-y}>0 para manipular o logaritmo normalmente.

Passo 5

Determinar o intervalo de definição I (domínio onde a solução é válida e real).
A expressão y(x) = -\ln\!\big(2 - e^{x}\big) exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo:
2 - e^{x} > 0.
Resolver essa desigualdade:
e^{x} < 2 \quad\Rightarrow\quad x < \ln 2.
Portanto a solução explicitamente definida e real existe para todos os x tais que x<\ln 2. Como a condição inicial está em x=0 e 0<\ln 2, o maior intervalo aberto que contém 0 onde a solução é válida é
I = (-\infty,\\ \ln 2).
Observação sobre maximalidade: à medida que x \to \ln 2^{-} temos 2-e^{x}\to 0^{+} e -\ln(2-e^{x})\to +\infty; portanto a solução explode para +\infty em x=\ln 2 e não pode ser estendida como função real além desse ponto.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (confirmação de que a solução funciona).
Derivando y(x) para conferir:
y(x) = -\ln\!\big(2 - e^{x}\big)\quad\Rightarrow\quad y'(x) = -\frac{1}{2 - e^{x}}\cdot\big(-e^{x}\big) = \frac{e^{x}}{2 - e^{x}}.
Calcule e^{x+y} usando a solução:
e^{x+y} = e^{x}\,e^{y} = e^{x}\,e^{-\ln(2 - e^{x})} = \frac{e^{x}}{2 - e^{x}}.
Como y'(x)=e^{x+y}, a solução está correta.

Passo 7

Código para gerar o gráfico (use Python/Matplotlib). Rode esse código num ambiente local (Jupyter, Colab ou script Python). Ele plota y(x) no intervalo (-\!4,\\ \ln 2 - \varepsilon) e mostra a assíntota vertical em x=\ln 2.
Código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# parâmetros
x_max = np.log(2) - 1e-3   # ficar um pouco antes de ln(2)
x_min = -4.0
x = np.linspace(x_min, x_max, 1000)

y = -np.log(2 - np.exp(x))

plt.figure(figsize=(7,5))
plt.plot(x, y, label=r'\(y(x) = -\ln(2 - e^{x})\)')
plt.axvline(np.log(2), color='gray', linestyle='--', label=r'\(x=\ln 2\) (assíntota)')
plt.ylim(-3, 6)
plt.xlim(x_min, float(np.log(2)) + 0.1)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solução do PVI: \(e^{y} dx - e^{-x} dy = 0\), \(y(0)=0\)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Dica: se o gráfico mostrar comportamento estranho perto de x próximo a \ln 2, diminua ainda mais o passo (aumente a densidade de pontos) ou aproxime mais a posição da assíntota com um \varepsilon maior.

Passo 8

Recapitulando com um toque de ânimo: encontramos a solução explícita de forma diretona por separação de variáveis, determinamos o intervalo máximo onde ela é real e mostrei como verificar e plotar. Isso é o essencial que o professor quer que você saiba — e deu tudo certo!

Resposta

y(x) = -\ln\!\big(2 - e^{x}\big)
I = (-\infty,\\ \ln 2)

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