Encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição
por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que o problema pede.
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido:
- Encontrar uma solução explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. - Determinar o intervalo exato de definição
da solução (o maior intervalo aberto contendo onde a solução está bem definida). - Gerar um gráfico da solução usando um software gráfico (vou fornecer um código pronto para você rodar).
Passo 2
Colocar a equação em forma de derivada e separar variáveis.
A equação diferencial pode ser rearranjada para ter
isolado. A partir de
temos:
Dividindo ambos os lados por
e por
obtemos a forma usual:
Agora aplicamos o método das variáveis separáveis: colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Escrevendo
obtemos
Explicando o método (rapidinho e de leve): separar variáveis significa escrever a diferencial de modo que só tenhamos funções de
multiplicando
num lado e só funções de
multiplicando
no outro; daí integramos ambos os lados. Esse método é válido enquanto
e
forem contínuas (o que acontece sempre), então podemos integrar.
Passo 3
Integrar ambos os lados e introduzir a constante de integração.
Integramos:
Calcule as duas integrais. À esquerda,
e
. À direita,
. Portanto obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Usar a condição inicial para determinar a constante
e isolar
.
A condição inicial é
. Substituindo
e
na relação obtida:
Logo a solução implícita com a constante é
Isolando
e depois
obtemos
Aqui usei que
para manipular o logaritmo normalmente.
Passo 5
Determinar o intervalo de definição
(domínio onde a solução é válida e real).
A expressão
exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo:
Resolver essa desigualdade:
Portanto a solução explicitamente definida e real existe para todos os
tais que
. Como a condição inicial está em
e
, o maior intervalo aberto que contém
onde a solução é válida é
Observação sobre maximalidade: à medida que
temos
e
; portanto a solução explode para
em
e não pode ser estendida como função real além desse ponto.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (confirmação de que a solução funciona).
Derivando
para conferir:
Calcule
usando a solução:
Como
, a solução está correta.
Passo 7
Código para gerar o gráfico (use Python/Matplotlib). Rode esse código num ambiente local (Jupyter, Colab ou script Python). Ele plota
no intervalo
e mostra a assíntota vertical em
.
Código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# parâmetros
x_max = np.log(2) - 1e-3 # ficar um pouco antes de ln(2)
x_min = -4.0
x = np.linspace(x_min, x_max, 1000)
y = -np.log(2 - np.exp(x))
plt.figure(figsize=(7,5))
plt.plot(x, y, label=r'\(y(x) = -\ln(2 - e^{x})\)')
plt.axvline(np.log(2), color='gray', linestyle='--', label=r'\(x=\ln 2\) (assíntota)')
plt.ylim(-3, 6)
plt.xlim(x_min, float(np.log(2)) + 0.1)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solução do PVI: \(e^{y} dx - e^{-x} dy = 0\), \(y(0)=0\)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Dica: se o gráfico mostrar comportamento estranho perto de
próximo a
, diminua ainda mais o passo (aumente a densidade de pontos) ou aproxime mais a posição da assíntota com um
maior.
Passo 8
Recapitulando com um toque de ânimo: encontramos a solução explícita de forma diretona por separação de variáveis, determinamos o intervalo máximo onde ela é real e mostrei como verificar e plotar. Isso é o essencial que o professor quer que você saiba — e deu tudo certo!