Encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição
por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Equação diferencial apresentada (na forma diferencial):
. - Condição inicial:
. - O que o enunciado pede:
- Encontrar uma solução explícita do problema de valor inicial.
- Determinar o intervalo exato de definição
(intervalo maximal onde a solução está definida e atende ao PVI). - Gerar o gráfico da solução usando um software gráfico (vou fornecer um código que gera esse gráfico).
Passo 2
Reescrever a equação como um EDO de primeira ordem na forma
e reconhecer que ela é separável.
-
A equação diferencial dada é
. Vamos dividi-la por para obter uma forma usual: -
Por que é separável? Porque o lado direito é um produto de uma função de
(aqui ) por uma função de (aqui ). Uma EDO é separável quando pode ser escrita como . Aqui multiplicando ambos os lados por obtemos: Isso é exatamente a separação de variáveis: todas as partes emà esquerda, todas as partes em à direita. -
Agora integramos ambos os lados. Lembrete rápido sobre integrais usadas:
-
. Explicação: é a antiderivada da potência . -
. Explicação: a derivada de é , logo a antiderivada de é .
-
-
Integrando:onde
é uma constante de integração (combinamos e numa só).
Passo 3
Isolar
e aplicar a condição inicial para determinar a constante.
-
Multiplicando por
para simplificar: Para manter as contas simples, continuamos escrevendo a constante como: -
Usar a condição inicial
. Substituindo e : Atenção: aqui houve um passo aritmético direto:, então e . -
Substituindo
na expressão de : -
Tomando raiz quadrada para obter
explicitamente: Como temos a condição inicial, devemos escolher o ramo positivo da raiz na vizinhança de . Logo a solução do PVI é para osem que o radicando é não-negativo.
Passo 4
Determinar o intervalo exato de definição
a partir da exigência do radicando e das condições para existência/unicidade.
-
A expressão sob a raiz deve ser não-negativa:
-
Resolver a desigualdade trigonométrica
. - Conhecimento sobre
: exatamente em (mod ). O cosseno é maior que entre esses pontos centrais em cada período. - Portanto, a solução geral da desigualdade é
- Conhecimento sobre
-
Como a condição inicial está em
, escolhemos o intervalo simétrico em torno de zero que contém . O maior intervalo aberto que contém e onde o radicando é estritamente positivo (garantindo que e a derivada original está bem definida) é Observações sobre os extremos:- Nos pontos
temos e portanto nessas abscissas. Embora a expressão esteja definida e contínua nesses pontos com valor , a equação diferencial na forma tem divisão por zero aí, então a função derivada fica indefinida nesses pontos e a unicidade/existência clássica do problema de Cauchy (na forma com contínua/Lipschitz) deixa de garantir extensão única através desses pontos. - Assim, o intervalo maximal de existência/unicidade que contém
é o intervalo aberto . Em muitos contextos pode-se dizer que a solução se “estende continuamente” até os extremos, com , mas a EDO em forma normal torna-se singular nesses extremos.
- Nos pontos
Passo 5
Resumo final da solução e como plotar (código para reproduzir o gráfico).
-
Solução explícita do problema de valor inicial (escolhendo o sinal compatível com
): -
Código Python (Matplotlib + NumPy) para gerar o gráfico da solução no intervalo válido. Copie e execute num ambiente Python (por exemplo Jupyter, VSCode, Google Colab):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# intervalo aberto (-pi/3, pi/3); para plotar, tomar uma malha que não inclua os extremos exatos
a = -np.pi/3 + 1e-6
b = np.pi/3 - 1e-6
x = np.linspace(a, b, 400)
y = np.sqrt(2*np.cos(x) - 1)
plt.figure(figsize=(7,4))
plt.plot(x, y, label=r'\(y(x)=\sqrt{2\cos x - 1}\)', color='tab:blue')
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.scatter([0], [1], color='red', zorder=5, label=r'\(y(0)=1\)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solução do PVI: y(0)=1 para sen x dx + y dy = 0')
plt.ylim(-0.1, 1.05)
plt.xlim(-np.pi/3 - 0.05, np.pi/3 + 0.05)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
- Observação sobre o gráfico: a curva é simétrica em relação ao eixo
(porque a expressão do radicando depende de , que é par), assume valor e decresce até quando aproxima-se de .