Encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição I por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
\operatorname{sen} x d x+y d y=0, \quad y(0)=1

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial apresentada (na forma diferencial): \operatorname{sen} x\,dx + y\,dy = 0.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • O que o enunciado pede:
    1. Encontrar uma solução explícita do problema de valor inicial.
    2. Determinar o intervalo exato de definição I (intervalo maximal onde a solução está definida e atende ao PVI).
    3. Gerar o gráfico da solução usando um software gráfico (vou fornecer um código que gera esse gráfico).

Passo 2

Reescrever a equação como um EDO de primeira ordem na forma dy/dx=\dots e reconhecer que ela é separável.
  • A equação diferencial dada é \operatorname{sen} x\,dx + y\,dy = 0. Vamos dividi-la por dx para obter uma forma usual:
    \frac{dy}{dx} = -\frac{\operatorname{sen} x}{y}.
  • Por que é separável? Porque o lado direito é um produto de uma função de x (aqui -\operatorname{sen} x) por uma função de y (aqui 1/y). Uma EDO é separável quando pode ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx. Aqui multiplicando ambos os lados por y\,dx obtemos:
    y\,dy = -\operatorname{sen} x\,dx.
    Isso é exatamente a separação de variáveis: todas as partes em y à esquerda, todas as partes em x à direita.
  • Agora integramos ambos os lados. Lembrete rápido sobre integrais usadas:
    • \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_1. Explicação: é a antiderivada da potência y^1.
    • \displaystyle \int -\operatorname{sen} x\,dx = \cos x + C_2. Explicação: a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x, logo a antiderivada de -\operatorname{sen} x é \cos x.
  • Integrando:
    \int y\,dy = \int -\operatorname{sen} x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{2} = \cos x + C,
    onde C é uma constante de integração (combinamos C_1 e C_2 numa só).

Passo 3

Isolar y e aplicar a condição inicial para determinar a constante.
  • Multiplicando por 2 para simplificar:
    y^{2} = 2\cos x + C',\quad\text{onde } C' = 2C.
    Para manter as contas simples, continuamos escrevendo a constante como C:
    y^{2} = 2\cos x + C.
  • Usar a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1:
    1^{2} = 2\cos 0 + C \quad\Rightarrow\quad 1 = 2\cdot 1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -1.
    Atenção: aqui houve um passo aritmético direto: \cos 0 = 1, então 1 = 2 + C e C = -1.
  • Substituindo C=-1 na expressão de y^{2}:
    y^{2} = 2\cos x - 1.
  • Tomando raiz quadrada para obter y explicitamente:
    y(x) = \pm\sqrt{\,2\cos x - 1\,}.
    Como temos a condição inicial y(0)=1>0, devemos escolher o ramo positivo da raiz na vizinhança de x=0. Logo a solução do PVI é
    y(x) = \sqrt{\,2\cos x - 1\,},
    para os x em que o radicando é não-negativo.

Passo 4

Determinar o intervalo exato de definição I a partir da exigência do radicando e das condições para existência/unicidade.
  • A expressão sob a raiz deve ser não-negativa:
    2\cos x - 1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x \ge \tfrac{1}{2}.
  • Resolver a desigualdade trigonométrica \cos x \ge \tfrac{1}{2}.
    • Conhecimento sobre \cos: \cos x = \tfrac{1}{2} exatamente em x = \pm \tfrac{\pi}{3} (mod 2\pi). O cosseno é maior que \tfrac{1}{2} entre esses pontos centrais em cada período.
    • Portanto, a solução geral da desigualdade é x \in \left[-\tfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\; \tfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Como a condição inicial está em x=0, escolhemos o intervalo simétrico em torno de zero que contém 0. O maior intervalo aberto que contém 0 e onde o radicando é estritamente positivo (garantindo que y>0 e a derivada original dy/dx = -\sin x / y está bem definida) é
    I = \left(-\tfrac{\pi}{3},\;\tfrac{\pi}{3}\right).
    Observações sobre os extremos:
    • Nos pontos x=\pm\tfrac{\pi}{3} temos 2\cos x -1 = 0 e portanto y=0 nessas abscissas. Embora a expressão y(x)=\sqrt{2\cos x -1} esteja definida e contínua nesses pontos com valor 0, a equação diferencial na forma \frac{dy}{dx}=-\frac{\sin x}{y} tem divisão por zero aí, então a função derivada fica indefinida nesses pontos e a unicidade/existência clássica do problema de Cauchy (na forma y' = f(x,y) com f contínua/Lipschitz) deixa de garantir extensão única através desses pontos.
    • Assim, o intervalo maximal de existência/unicidade que contém x=0 é o intervalo aberto \left(-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right). Em muitos contextos pode-se dizer que a solução se “estende continuamente” até os extremos, com y(\pm\tfrac{\pi}{3})=0, mas a EDO em forma normal torna-se singular nesses extremos.

Passo 5

Resumo final da solução e como plotar (código para reproduzir o gráfico).
  • Solução explícita do problema de valor inicial (escolhendo o sinal compatível com y(0)=1):
    y(x) = \sqrt{\,2\cos x - 1\,},\qquad x\in\left(-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right).
  • Código Python (Matplotlib + NumPy) para gerar o gráfico da solução no intervalo válido. Copie e execute num ambiente Python (por exemplo Jupyter, VSCode, Google Colab):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# intervalo aberto (-pi/3, pi/3); para plotar, tomar uma malha que não inclua os extremos exatos
a = -np.pi/3 + 1e-6
b =  np.pi/3 - 1e-6
x = np.linspace(a, b, 400)
y = np.sqrt(2*np.cos(x) - 1)

plt.figure(figsize=(7,4))
plt.plot(x, y, label=r'\(y(x)=\sqrt{2\cos x - 1}\)', color='tab:blue')
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.scatter([0], [1], color='red', zorder=5, label=r'\(y(0)=1\)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solução do PVI: y(0)=1 para sen x dx + y dy = 0')
plt.ylim(-0.1, 1.05)
plt.xlim(-np.pi/3 - 0.05, np.pi/3 + 0.05)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
  • Observação sobre o gráfico: a curva é simétrica em relação ao eixo y (porque a expressão do radicando depende de \cos x, que é par), assume valor y(0)=1 e decresce até y=0 quando x aproxima-se de \pm\tfrac{\pi}{3}.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,2\cos x - 1\,} para x\in\left(-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right)

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