Seja a transformação linear, T: \square^{3} \rightarrow \square^{2}, onde: T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z) e sejam as bases A e B, \quad A=\left\{v_{1}=(1,1,1), v_{2}=(0,1,1), v_{3}=(0,0,1)\right\} e B=\left\{w_{1}=(2,1)\right. e \left.w_{2}=(5,3)\right\}. Encontre [\mathrm{T}]_{\mathrm{B}}^{\mathrm{A}}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T relativa à base do domínio A=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} e à base do contradomínio B=\{w_{1},w_{2}\}. O conteúdo é “matriz de transformação linear em bases não canônicas”: devemos calcular T(v_{j}) e expressá-los como combinação linear de w_{1},w_{2}. As coordenadas desses vetores formarão as colunas de [\!T\!]_{B}^{A}.

Passo 2

Calculemos primeiro as imagens pelos vetores de A:
T(v_{1}) = T(1,1,1) = (2\cdot1 - 1 + 1,\;3\cdot1 + 1 -2\cdot1) = (2,2),
T(v_{2}) = T(0,1,1) = (0 -1 +1,\;0 +1 -2) = (0,-1),
T(v_{3}) = T(0,0,1) = (0 -0 +1,\;0 +0 -2) = (1,-2).

Passo 3

Para T(v_{1})=(2,2)\) escrevemos \[(2,2) = a\,w_{1} + b\,w_{2} = a\,(2,1) + b\,(5,3).
Isso dá o sistema
\begin{cases} 2a + 5b = 2,\\\ a + 3b = 2. \end{cases}
Da segunda equação (a = 2 - 3b]. Substituindo na primeira:
2(2 - 3b) + 5b = 2 \;\Longrightarrow\;4 -6b +5b = 2 \;\Longrightarrow\; -b = -2 \;\Longrightarrow\; b = 2,
a = 2 - 3\cdot2 = -4.
Logo as coordenadas de T(v_{1}) em B são \bigl(-4,2\bigr).

Passo 4

Para T(v_{2})=(0,-1)\) escrevemos \[(0,-1) = a\,(2,1) + b\,(5,3),
que gera
\begin{cases} 2a + 5b = 0,\\\ a + 3b = -1. \end{cases}
Da segunda equação (a = -1 -3b]. Substituindo:
2(-1 -3b) + 5b = 0 \;\Longrightarrow\; -2 -6b +5b = 0 \;\Longrightarrow\; -b = 2 \;\Longrightarrow\; b = -2,
a = -1 -3(-2) = 5.
As coordenadas de T(v_{2}) em B são \bigl(5,-2\bigr).

Passo 5

Para T(v_{3})=(1,-2)\) escrevemos \[(1,-2) = a\,(2,1) + b\,(5,3),
resultando em
\begin{cases} 2a + 5b = 1,\\\ a + 3b = -2. \end{cases}
Da segunda (a = -2 -3b]. Substituindo:
2(-2 -3b) + 5b = 1 \;\Longrightarrow\; -4 -6b +5b = 1 \;\Longrightarrow\; -b = 5 \;\Longrightarrow\; b = -5,
a = -2 -3(-5) = 13.
As coordenadas de T(v_{3}) em B são \bigl(13,-5\bigr).

Passo 6

Agrupando as coordenadas obtidas, a matriz de T relativa às bases A e B tem colunas
[-4,\;5,\;13]^{T}\quad\text{e}\quad[2,\;-2,\;-5]^{T}.

Resposta

[\!T\!]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} -4 & 5 & 13\\\\ 2 & -2 & -5 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados