O que se pede: encontrar explicitamente \mathbf{X}(t) que satisfaça a equação e a condição inicial.]
Passo 2
Estratégia (breve, só para orientar o leitor): para sistemas lineares homogêneos constantes usa-se autovalores e autovetores de A. Se A tem autovalores reais e complexos, constrói-se uma base real de soluções usando combinações exponenciais e funções trigonométricas quando aparecerem autovalores complexos conjugados. Vamos calcular o polinômio característico de A para achar os autovalores.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Começando por escrever a matriz A-\lambda I e o determinante:
Construir a solução geral real. Para autovalor real \lambda_1=1 temos solução \mathrm{e}^{t}\mathbf{v}_1. Para o par complexo \pm 5\mathrm{i} as duas soluções reais independentes são
Subtraindo a segunda da terceira: -7-6 = 6C_1-(-7C_1)\Rightarrow -13 =13C_1\], logo \(C_1=-1.
Substituindo em 6=-7C_1+C_2 dá 6=7+C_2\Rightarrow C_2=-1.
Finalmente em 4=25C_1+C_2+5C_3 temos 4=-25-1+5C_3\Rightarrow 5C_3=30\Rightarrow C_3=6.]
Passo 8
Escrever a solução particular com os valores encontrados C_1=-1, C_2=-1, C_3=6. Substituindo na expressão geral e recolhendo termos, com \mathbf{u}=(1,1,1)^\top e \mathbf{v}=(5,0,0)^\top,