resolva o sistema dado sujeito às condições iniciais indicadas.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -12 & -14 \\\\ 1 & 2 & -3 \\\\ 1 & 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{X}, \mathbf{X}(0)=\left(\begin{array}{r}4 \\\\ 6 \\\\ -7\end{array}\right)

Passo 1

O problema pede para resolver o sistema linear de EDOs com condição inicial. As informações dadas são:
  • Matriz do sistema
A=\begin{pmatrix}1 & -12 & -14\\[4pt] 1 & 2 & -3\\[4pt] 1 & 1 & -2\end{pmatrix},
  • Equação matricial
\mathbf{X}' = A\mathbf{X},
  • Condição inicial
\mathbf{X}(0)=\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\\[4pt]-7\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar explicitamente \mathbf{X}(t) que satisfaça a equação e a condição inicial.]

Passo 2

Estratégia (breve, só para orientar o leitor): para sistemas lineares homogêneos constantes usa-se autovalores e autovetores de A. Se A tem autovalores reais e complexos, constrói-se uma base real de soluções usando combinações exponenciais e funções trigonométricas quando aparecerem autovalores complexos conjugados. Vamos calcular o polinômio característico de A para achar os autovalores.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Começando por escrever a matriz A-\lambda I e o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & -12 & -14\\[4pt] 1 & 2-\lambda & -3\\[4pt] 1 & 1 & -2-\lambda\end{pmatrix},
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -3\\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}+12\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}-14\det\begin{pmatrix}1 & 2-\lambda\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante auxiliar:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -3\\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-3)\cdot1=\lambda^2-4+3=\lambda^2-1,
\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}=1\cdot(-2-\lambda)-(-3)\cdot1=-2-\lambda+3=1-\lambda,
\det\begin{pmatrix}1 & 2-\lambda\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(2-\lambda)\cdot1=1-2+\lambda=\lambda-1.
Substituindo,
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-1)+12(1-\lambda)-14(\lambda-1).
Note que 12(1-\lambda)=-12(\lambda-1) e -14(\lambda-1)=-14(\lambda-1), então
\det(A-\lambda I)=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)-26(\lambda-1).
Fatorando (\lambda-1),
\det(A-\lambda I)=-(\lambda-1)\bigl(\lambda^2+25\bigr).
Portanto os autovalores são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_{2,3}=\pm 5\mathrm{i}.]

Passo 4

Encontrar um autovetor real associado a \lambda_1=1. Resolvendo (A-I)\mathbf{v}=0:
(A-I)=\begin{pmatrix}0 & -12 & -14\\[4pt] 1 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 1 & -3\end{pmatrix}.
As equações são
-12y-14z=0,\qquad x+y-3z=0.
Da primeira: 6y+7z=0\Rightarrow y=-\dfrac{7}{6}z. Tomando z=6 para evitar frações, obtemos y=-7. Então x=-y+3z=7+18=25. Um autovetor associado é
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}25\\[4pt]-7\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar autovetor complexo para \lambda=5\mathrm{i}\). Resolvo \((A-5\mathrm{i}I)\mathbf{w}=0\). Escrevendo o sistema: \[\begin{cases} (1-5\mathrm{i})a-12b-14c=0,\\[4pt] a+(2-5\mathrm{i})b-3c=0,\\[4pt] a+b+(-2-5\mathrm{i})c=0, \end{cases}
para \mathbf{w}=(a,b,c)^\top\]. Subtraindo a segunda da terceira (ou eliminando), chega-se à relação simples \(b=c. Substituindo b=c em uma equação dá
a=(1+5\mathrm{i})b.
Podemos escolher b=1, então um autovetor complexo é
\mathbf{w}=\begin{pmatrix}1+5\mathrm{i}\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Separamos parte real e imaginária:
\mathbf{u}=\operatorname{Re}(\mathbf{w})=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\operatorname{Im}(\mathbf{w})=\begin{pmatrix}5\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Construir a solução geral real. Para autovalor real \lambda_1=1 temos solução \mathrm{e}^{t}\mathbf{v}_1. Para o par complexo \pm 5\mathrm{i} as duas soluções reais independentes são
\mathbf{\varphi}_2(t)=\mathbf{u}\cos(5t)-\mathbf{v}\sin(5t),\qquad \mathbf{\varphi}_3(t)=\mathbf{u}\sin(5t)+\mathbf{v}\cos(5t).
Assim a solução geral é
\mathbf{X}(t)=C_1\,\mathrm{e}^{t}\mathbf{v}_1 + C_2\bigl(\mathbf{u}\cos(5t)-\mathbf{v}\sin(5t)\bigr)+C_3\bigl(\mathbf{u}\sin(5t)+\mathbf{v}\cos(5t)\bigr),
com constantes reais C_1,C_2,C_3.

Passo 7

Aplicar a condição inicial \mathbf{X}(0)=\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\\[4pt]-7\end{pmatrix}\). Avaliando em \(t=0\) temos \(\mathrm{e}^{0}=1\), \(\cos0=1\), \(\sin0=0\), então \[\mathbf{X}(0)=C_1\mathbf{v}_1 + C_2\mathbf{u} + C_3\mathbf{v}.
Portanto resolvemos o sistema para C_1,C_2,C_3:
\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\\[4pt]-7\end{pmatrix} = C_1\begin{pmatrix}25\\[4pt]-7\\[4pt]6\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_3\begin{pmatrix}5\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} 4 = 25C_1 + C_2 + 5C_3,\\[4pt] 6 = -7C_1 + C_2,\\[4pt] -7 = 6C_1 + C_2. \end{cases}
Subtraindo a segunda da terceira: -7-6 = 6C_1-(-7C_1)\Rightarrow -13 =13C_1\], logo \(C_1=-1.
Substituindo em 6=-7C_1+C_2 6=7+C_2\Rightarrow C_2=-1.
Finalmente em 4=25C_1+C_2+5C_3 temos 4=-25-1+5C_3\Rightarrow 5C_3=30\Rightarrow C_3=6.]

Passo 8

Escrever a solução particular com os valores encontrados C_1=-1, C_2=-1, C_3=6. Substituindo na expressão geral e recolhendo termos, com \mathbf{u}=(1,1,1)^\top e \mathbf{v}=(5,0,0)^\top,
\mathbf{X}(t) = -\mathrm{e}^{t}\begin{pmatrix}25\\[4pt]-7\\[4pt]6\end{pmatrix} - \bigl(\mathbf{u}\cos(5t)-\mathbf{v}\sin(5t)\bigr) + 6\bigl(\mathbf{u}\sin(5t)+\mathbf{v}\cos(5t)\bigr).
Agora simplifico componente a componente. Defina s_1(t)=-\cos(5t)+6\sin(5t) e s_2(t)=\sin(5t)+6\cos(5t). Como \mathbf{u}=(1,1,1) e \mathbf{v}=(5,0,0),
\mathbf{X}(t)=-\mathrm{e}^{t}\begin{pmatrix}25\\[4pt]-7\\[4pt]6\end{pmatrix} + s_1(t)\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} + s_2(t)\begin{pmatrix}5\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calculando as componentes explicitamente:
\begin{aligned} x(t)&=-25\mathrm{e}^{t}+s_1(t)+5s_2(t) =-25\mathrm{e}^{t}+(-\cos(5t)+6\sin(5t))+5(\sin(5t)+6\cos(5t))\\[4pt] &=-25\mathrm{e}^{t}+29\cos(5t)+11\sin(5t),\\[6pt] y(t)&=7\mathrm{e}^{t}+s_1(t) =7\mathrm{e}^{t}-\cos(5t)+6\sin(5t),\\[6pt] z(t)&=-6\mathrm{e}^{t}+s_1(t) =-6\mathrm{e}^{t}-\cos(5t)+6\sin(5t). \end{aligned}]

Resposta

\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix} -25\mathrm{e}^{t}+29\cos(5t)+11\sin(5t)\\[6pt] 7\mathrm{e}^{t}-\cos(5t)+6\sin(5t)\\[6pt] -6\mathrm{e}^{t}-\cos(5t)+6\sin(5t) \end{pmatrix}]

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