A incógnita é o vetor função \mathrm{X}(t)=\begin{pmatrix}x_1(t) \\[4pt] x_2(t)\end{pmatrix} satisfazendo
\mathrm{X}^{\prime}(t)=A\,\mathrm{X}(t).
O que se pede: encontrar a solução geral \mathrm{X}(t), isto é, a expressão de \mathrm{X}(t) em termos de constantes arbitrárias (dois parâmetros, pois o sistema é 2×2).]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e por que funciona):
Para sistemas lineares com matriz constante A, uma técnica padrão é procurar soluções do tipo \mathrm{X}(t)=e^{\lambda t}v, onde \lambda é um escalar (autovalor) e v é um vetor não nulo (autovetor).
Substituindo \mathrm{X}(t)=e^{\lambda t}v em \mathrm{X}'=A\mathrm{X} obtém-se \lambda e^{\lambda t}v = e^{\lambda t} A v, ou seja
A v = \lambda v.
Portanto \lambda e v devem satisfazer a equação de autovalores/autovetores. Se a matriz A tem duas autovetores linearmente independentes v_1,v_2 associados a autovalores \lambda_1,\lambda_2 distintos, a solução geral é
que são equivalentes (a segunda é 4 vezes a primeira). Da primeira obtemos 2x=5y ou x=\tfrac{5}{2}y. Para escolher um autovetor inteiro, tomo y=2, então x=5. Assim um autovetor associado a \lambda_1=8 é
v_1=\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}.]
Passo 6
Encontrar autovetor associado a \lambda_2=-10. Resolver (A+10I)v=0.
novamente equivalentes (a segunda é \tfrac{2}{5} da primeira). Da primeira vem 20x=5y ou x=\tfrac{1}{4}y. Tomando y=4 obtemos x=1. Assim um autovetor associado a \lambda_2=-10 é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]
Passo 7
Verificação rápida de independência linear e escrita da solução geral.
Os vetores v_1=\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix} e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix} não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes. Como temos dois autovalores distintos, isso era esperado e garante que a solução geral é combinação linear das duas soluções fundamentais.