ache a solução geral do sistema dado.
\mathrm{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}10 & -5 \\\\ 8 & -12\end{array}\right) \mathrm{X}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de coeficientes constantes e pede a solução geral. Informações fornecidas:
  • A matriz do sistema é
A=\begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] 8 & -12\end{pmatrix}.
  • A incógnita é o vetor função \mathrm{X}(t)=\begin{pmatrix}x_1(t) \\[4pt] x_2(t)\end{pmatrix} satisfazendo
\mathrm{X}^{\prime}(t)=A\,\mathrm{X}(t).
O que se pede: encontrar a solução geral \mathrm{X}(t), isto é, a expressão de \mathrm{X}(t) em termos de constantes arbitrárias (dois parâmetros, pois o sistema é 2×2).]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e por que funciona):
  • Para sistemas lineares com matriz constante A, uma técnica padrão é procurar soluções do tipo \mathrm{X}(t)=e^{\lambda t}v, onde \lambda é um escalar (autovalor) e v é um vetor não nulo (autovetor).
  • Substituindo \mathrm{X}(t)=e^{\lambda t}v em \mathrm{X}'=A\mathrm{X} obtém-se \lambda e^{\lambda t}v = e^{\lambda t} A v, ou seja
A v = \lambda v.
  • Portanto \lambda e v devem satisfazer a equação de autovalores/autovetores. Se a matriz A tem duas autovetores linearmente independentes v_1,v_2 associados a autovalores \lambda_1,\lambda_2 distintos, a solução geral é
\mathrm{X}(t)=C_1 e^{\lambda_1 t} v_1 + C_2 e^{\lambda_2 t} v_2,
onde C_1,C_2 são constantes reais arbitrárias.
  • Então vamos calcular o polinômio característico de A, achar \lambda's e os v's.

Passo 3

Cálculo do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
\det\!\begin{pmatrix}10-\lambda & -5 \\[4pt] 8 & -12-\lambda\end{pmatrix} =(10-\lambda)(-12-\lambda)-(-5)(8).
Faço a expansão passo a passo:
(10-\lambda)(-12-\lambda)=10(-12-\lambda)-\lambda(-12-\lambda)=-120-10\lambda+12\lambda+\lambda^2=\lambda^2+2\lambda-120.
Somando o termo -(-5\cdot8)=+40 obtemos o polinômio
\lambda^2+2\lambda-120+40=\lambda^2+2\lambda-80.
Logo o polinômio característico é
\lambda^2+2\lambda-80=0.]

Passo 4

Resolver a equação quadrática para achar os autovalores.
\lambda^2+2\lambda-80=0.
Usando fórmula de Bhaskara (ou fatorando), calculo o discriminante:
\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-80)=4+320=324.
Como \sqrt{324}=18, os autovalores são
\lambda=\frac{-2\pm18}{2}.
Portanto
\lambda_1=\frac{-2+18}{2}=8,\qquad \lambda_2=\frac{-2-18}{2}=-10.

Passo 5

Encontrar autovetor associado a \lambda_1=8. Resolver (A-8I)v=0.
A-8I=\begin{pmatrix}10-8 & -5 \\[4pt] 8 & -12-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] 8 & -20\end{pmatrix}.
As equações implícitas são
2x-5y=0,\qquad 8x-20y=0,
que são equivalentes (a segunda é 4 vezes a primeira). Da primeira obtemos 2x=5y ou x=\tfrac{5}{2}y. Para escolher um autovetor inteiro, tomo y=2, então x=5. Assim um autovetor associado a \lambda_1=8 é
v_1=\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar autovetor associado a \lambda_2=-10. Resolver (A+10I)v=0.
A-(-10)I=A+10I=\begin{pmatrix}10+10 & -5 \\[4pt] 8 & -12+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20 & -5 \\[4pt] 8 & -2\end{pmatrix}.
As equações são
20x-5y=0,\qquad 8x-2y=0,
novamente equivalentes (a segunda é \tfrac{2}{5} da primeira). Da primeira vem 20x=5y ou x=\tfrac{1}{4}y. Tomando y=4 obtemos x=1. Assim um autovetor associado a \lambda_2=-10 é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida de independência linear e escrita da solução geral.
  • Os vetores v_1=\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix} e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix} não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes. Como temos dois autovalores distintos, isso era esperado e garante que a solução geral é combinação linear das duas soluções fundamentais.
  • Portanto a solução geral do sistema é
\mathrm{X}(t)=C_1 e^{8t}\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}+C_2 e^{-10t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes reais arbitrárias.
  • Se for útil escrever componente a componente:
x_1(t)=5C_1 e^{8t}+C_2 e^{-10t},\qquad x_2(t)=2C_1 e^{8t}+4C_2 e^{-10t}.]

Resposta

\mathrm{X}(t)=C_1 e^{8t}\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}+C_2 e^{-10t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}]

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