É pedido encontrar a solução geral \mathbf{X}(t) do sistema (ou seja, a família de soluções com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada passo a passo): procurar soluções do tipo \mathbf{X}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}, onde \lambda é um escalar e \mathbf{v} é um vetor não-nulo. Substituindo na equação obtemos o problema de autovalores
(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Os valores \lambda que permitem um vetor não-nulo \mathbf{v} são as raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Cada par (\lambda,\mathbf{v}) gera uma solução \mathbf{X}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Se conseguirmos três autovetores linearmente independentes os exponenciais correspondentes formam base das soluções (porque a dimensão é 3).
Passo 3
Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevemos A-\lambda I:
Como os três autovalores são distintos, esperamos três autovetores linearmente independentes. Vamos achar um autovetor para cada autovalor resolvendo (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Da primeira equação x+y=0 vem y=-x. Da segunda x+4y+z=0\Rightarrow x+4(-x)+z=0\Rightarrow z=3x. A terceira 3y+z=0 também dá -3x+3x=0, consistente. Tomando x=1 obtemos o autovetor
Como os três autvalores são reais e distintos, e os três autovetores obtidos são linearmente independentes, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções exponenciais correspondentes: