Resolva o sistema de Equaçð̃es Diferenciais usando método dos autovalores e autovetores.
Passo 1
O sistema dado é linear de coeficientes constantes e pode ser escrito na forma matricial como
, então vamos usar autovalores e autovetores (e, se necessário, vetor generalizado) para montar a solução.
Passo 2
Escrevemos a matriz do sistema:
E o vetor de incógnitas
.
Passo 3
Determinamos o polinômio característico de
:
Igualando a zero, achamos
com raiz única
(multiplicidade 2).
Passo 4
Buscamos os autovetores para
, resolvendo
:
Escolhendo
, obtemos o autovetor
.
Passo 5
Como há apenas um autovetor para raiz dupla, precisamos de um vetor generalizado
satisfazendo
. Seja
. Resolvendo
$$
Equações coincidem e, por exemplo, escolhendo
Passo 6
Para uma cadeia de Jordan de comprimento 2 com autovalor
, a solução geral é
Passo 7
Separando componentes,
Resposta
x(t)=e^{6t}\bigl(3C_1 + C_2(3t+\tfrac12)\bigr), y(t)=e^{6t}\bigl(2C_1 + 2C_2t\bigr)