Resolva o sistema de Equaçð̃es Diferenciais usando método dos autovalores e autovetores.
l x^prime(t)=12 x-9 y y^prime(t)=4 x

Passo 1

O sistema dado é linear de coeficientes constantes e pode ser escrito na forma matricial como X'(t)=AX(t), então vamos usar autovalores e autovetores (e, se necessário, vetor generalizado) para montar a solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema:
A=12 & -9[6pt]4 & 0
E o vetor de incógnitas X(t)=(x(t),y(t))^T.

Passo 3

Determinamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det12-lambda & -9[4pt]4 & -lambda=(12-lambda)(-lambda)-(-9cdot4)=lambda^2-12lambda+36
Igualando a zero, achamos lambda^2-12lambda+36=0 com raiz única lambda=6 (multiplicidade 2).

Passo 4

Buscamos os autovetores para lambda=6, resolvendo (A-6I)v=0:
(A-6I)=6 & -9[3pt]4 & -6, 6x-9y=0 Rightarrow y=tfrac23x
Escolhendo x=3, obtemos o autovetor v1=(3,2)^T.

Passo 5

Como há apenas um autovetor para raiz dupla, precisamos de um vetor generalizado v2 satisfazendo (A-6I)v2=v1. Seja v2=(a,b)^T. Resolvendo
$$
6a-9b=3[3pt]4a-6b=2$$
Equações coincidem e, por exemplo, escolhendo b=0 achamos a=tfrac12, logo v2=(tfrac12,0)^T.

Passo 6

Para uma cadeia de Jordan de comprimento 2 com autovalor 6, a solução geral é
X(t)=C1e^6tv1 + C2e^6t(tv1+v2)

Passo 7

Separando componentes,
x(t)=e^6tl(3C1 + C2(3t+tfrac12)r),[4pt] y(t)=e^6tl(2C1 + C2cdot2tr)

Resposta

x(t)=e^{6t}\bigl(3C_1 + C_2(3t+\tfrac12)\bigr), y(t)=e^{6t}\bigl(2C_1 + 2C_2t\bigr)

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