Sejam
não-nulos e ortogonais dois a dois (isto é,
se
). Mostre que sendo
tais que
, então
para todo o
.
Passo 1
Temos os vetores não-nulos e ortogonais dois a dois
e queremos provar que se
então todos os
devem ser zero. Vamos usar a propriedade do produto interno para mostrar independência linear desse conjunto.
Passo 2
Para cada
, façamos o produto interno de ambos os lados da igualdade
com
. Na prática, usamos a bilinearidade e a ortogonalidade:
$$
u_k\cdot(c_1u_1+\cdots+c_ru_r) =c_1(u_k\cdot u_1)+\cdots+c_r(u_k\cdot u_r) =c_k(u_k\cdot u_k),
c_k,(u_k\cdot u_k)=0.
$$
Passo 3
Como cada
é não-nulo,
. Logo, para que o produto seja zero, deve ocorrer
. Isso vale para todo
, mostrando que todos os coeficientes são nulos.