Sejam u1, u2, ldots, ur in R^n não-nulos e ortogonais dois a dois (isto é, ui cdot uj=0 se i neq j ). Mostre que sendo c1, ldots, cr in R tais que c1 u1+cdots+cr ur=0R^n, então ci=0 para todo o i.

Passo 1

Temos os vetores não-nulos e ortogonais dois a dois u1,u2,dots,urinR^n e queremos provar que se c1u1+cdots+crur=0 então todos os ci devem ser zero. Vamos usar a propriedade do produto interno para mostrar independência linear desse conjunto.

Passo 2

Para cada kin1,2,dots,r, façamos o produto interno de ambos os lados da igualdade c1u1+cdots+crur=0 com uk. Na prática, usamos a bilinearidade e a ortogonalidade:
$$
u_k\cdot(c_1u_1+\cdots+c_ru_r) =c_1(u_k\cdot u_1)+\cdots+c_r(u_k\cdot u_r) =c_k(u_k\cdot u_k), ukcdot(c1u1+cdots+crur) =c1(ukcdot u1)+cdots+cr(ukcdot ur) =ck(ukcdot uk),
c_k,(u_k\cdot u_k)=0.
$$

Passo 3

Como cada uk é não-nulo, ukcdot uk>0. Logo, para que o produto seja zero, deve ocorrer ck=0. Isso vale para todo k=1,2,dots,r, mostrando que todos os coeficientes são nulos.

Resposta

ci=0 para todo i=1,2,dots,r.

Exercícios relacionados