Resolva o sistema de equações dado usando o método de eliminação de Gauss ou o método de eliminação de Gauss-Jordan.
30. -x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}=0
\begin{array}{rr} 2 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} & =-3 \\\ x_{1}-3 x_{2}+4 x_{3}-8 x_{4} & =2 \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares em quatro incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e pede para resolver por eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan). Como há menos equações do que incógnitas, esperamos obter duas variáveis livres e uma família infinita de soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} -1 & 3 & -2 & 4 & 0\\\\ 2 & -6 & 1 & -2 & -3\\\\ 1 & -3 & 4 & -8 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Trocamos L_1 com L_3 para colocar um pivô igual a 1 na primeira linha:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 4 & -8 & 2\\\\ 2 & -6 & 1 & -2 & -3\\\\ -1 & 3 & -2 & 4 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo de a_{11}=1: L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 e L_3 \leftarrow L_3 + L_1.
Fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 4 & -8 & 2\\\\ 0 & 0 & -7 & 14 & -7\\\\ 0 & 0 & 2 & -4 & 2 \end{array}\right].

Passo 5

Dividimos L_2 por -7 e L_3 por 2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 4 & -8 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right].
As duas últimas linhas coincidem, restando duas equações independentes.

Passo 6

Das linhas não nulas temos o sistema triangularizado:
\begin{cases} x_1 - 3x_2 + 4x_3 - 8x_4 = 2,\\\ x_3 - 2x_4 = 1. \end{cases}
Como há 4 incógnitas e 2 equações, escolhemos x_2 = s e x_4 = t como variáveis livres.

Passo 7

Da segunda equação isolamos
x_3 = 1 + 2t.
Substituindo na primeira:
x_1 - 3s + 4(1+2t) -8t = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = -2 + 3s.

Passo 8

Concluímos que a solução geral é
x_1 = -2 + 3s,\quad x_2 = s,\quad x_3 = 1 + 2t,\quad x_4 = t,
com s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução geral do sistema é
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (-2+3s,\;s,\;1+2t,\;t),
onde s e t são parâmetros livres.

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