Resolva o sistema de equações dado usando o método de eliminação de Gauss ou o método de eliminação de Gauss-Jordan.
\sqrt{2} x+y+2 z=1
\begin{aligned} \sqrt{2} y-3 z & =-\sqrt{2} \\\\ -y+\sqrt{2} z & =1 \end{aligned}

Passo 1

Temos o sistema linear com três equações e três incógnitas (x,y,z):
\begin{cases} \sqrt{2}\,x + y + 2z = 1,\\\ \sqrt{2}\,y - 3z = -\sqrt{2},\\\\ -\,y + \sqrt{2}\,z = 1.
O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema num equivalente triangular (ou escalonado), para depois usar substituição reversa.

Passo 2

Observando as equações, notamos que só a primeira contém x\); as duas últimas formam um subsistema em \((y,z)\): \[\begin{cases} \sqrt{2}\,y - 3z = -\sqrt{2},\\\\ -\,y + \sqrt{2}\,z = 1. \end{cases}
Vamos usar a segunda equação desse subsistema como pivô para eliminar (y].

Passo 3

Dividimos a segunda equação do subsistema por \sqrt{2}$ para isolar y como pivô:
\sqrt{2}\,y - 3z = -\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad y - \frac{3}{\sqrt{2}}\,z = -1.

Passo 4

Eliminamos y da terceira equação somando-a à equação pivô:
\bigl(-y + \sqrt{2}\,z\bigr) + \bigl(y - \tfrac{3}{\sqrt{2}}\,z\bigr) = 1 + (-1).
Isso dá
\Bigl(\sqrt{2} - \tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr)z = 0.
Como \sqrt{2} = \tfrac{2}{\sqrt{2}}, temos \tfrac{2}{\sqrt{2}} - \tfrac{3}{\sqrt{2}} = -\tfrac{1}{\sqrt{2}}, logo
-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 0.

Passo 5

Com z = 0, voltamos à equação pivô para encontrar y:
y - \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot 0 = -1 \quad\Longrightarrow\quad y = -1.
Finalmente, substituímos y e z na primeira equação original para achar x:
\sqrt{2}\,x + (-1) + 2\cdot 0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2}\,x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

Resposta

(x,y,z) = \bigl(\sqrt{2},\, -1,\, 0\bigr).

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