Considere o seguinte método:
w_{n+1}=e^{h} f\left(x_{n}, w_{n}\right)
y^{\prime}(x)=f(x, y(x)) \quad y(0)=1=w_{0}
Mostre que se f(x, y(x))=\frac{(y(x))^{2}}{e^{x}} então o método produz o resultado exato.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • O método iterativo é w_{n+1}=e^{h} f\bigl(x_{n},w_{n}\bigr).
  • A equação diferencial é \;y'(x)=f\bigl(x,y(x)\bigr)\; com condição inicial \;y(0)=1=w_{0}.
  • Foi especificado que \;f\bigl(x,y(x)\bigr)=\dfrac{\bigl(y(x)\bigr)^{2}}{e^{x}}.
    O que se pede: mostrar que, para essa função f, o método produz o resultado exato nos pontos da malha \;x_{n}=n h\;, isto é, provar que para todo n vale \;w_{n}=y(x_{n}).

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução exata y(x) da equação diferencial, porque conhecer y(x) facilita mostrar que o método reproduz exatamente seus valores na malha.
Começamos da equação
y'(x)=\frac{\bigl(y(x)\bigr)^{2}}{e^{x}}.
Esta é uma equação separável: podemos separar as variáveis y e x. Escrevemos
y^{-2}\,dy = e^{-x}\,dx.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
\int y^{-2}\,dy = \int \frac{1}{y^{2}}\,dy = -\frac{1}{y} + C_{1},
e a integral do lado direito é
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C_{2}.
Igualando as duas expressões (podemos absorver constantes em uma só constante C) obtemos
-\frac{1}{y} = -e^{-x} + C.
Multiplicando por -1 e definindo C'=-C vem
\frac{1}{y} = e^{-x} + C'.
Aplicando a condição inicial \;y(0)=1\; obtemos
\frac{1}{1}=e^{0}+C' \quad\Rightarrow\quad 1=1+C' \quad\Rightarrow\quad C'=0.
Portanto
\frac{1}{y}=e^{-x}\quad\Rightarrow\quad y(x)=e^{x}.
Resumo: a solução exata é \;y(x)=e^{x}.

Passo 3

Vamos calcular f avaliada na solução exata, porque isso aparece explicitamente no método numérico:
f\bigl(x,y(x)\bigr)=\frac{\bigl(y(x)\bigr)^{2}}{e^{x}}=\frac{e^{2x}}{e^{x}}=e^{x}.
Ou seja, para a solução exata vale \;f\bigl(x,y(x)\bigr)=e^{x}.

Passo 4

Agora mostro que o método reproduce exatamente os valores y(x_{n}) na malha \;x_{n}=n h.
Primeiro a base da indução: para n=0 temos dado inicial \;w_{0}=1 e y(0)=e^{0}=1, então \;w_{0}=y(x_{0}).
Indutivamente, suponha que para algum n valha \;w_{n}=y(x_{n}). Então apliquei o passo do método:
w_{n+1}=e^{h} f\bigl(x_{n},w_{n}\bigr).
Usando a hipótese indutiva \;w_{n}=y(x_{n}) e o resultado do Passo 3 para f na solução exata, obtemos
w_{n+1}=e^{h} f\bigl(x_{n},y(x_{n})\bigr)=e^{h}\cdot e^{x_{n}}=e^{x_{n}+h}.
Como x_{n+1}=x_{n}+h, isto é
w_{n+1}=e^{x_{n+1}}=y(x_{n+1}).
Assim a propriedade se mantém de n para n+1. Pelo princípio da indução matemática, vale para todo n que \;w_{n}=y(x_{n}).

Passo 5

Interpretação final e observação pedagógica: o motivo pelo qual o método é exato aqui é que, para essa equação particular, a solução satisfaz y(x_{n+1})=e^{h}f(x_{n},y(x_{n})). O esquema numérico usa exatamente essa relação, então ele simplesmente reproduz a solução verdadeira passo a passo. Note que isso funciona para qualquer h; não houve aproximação numérica aqui porque a fórmula iterativa coincide com a relação exata entre pontos da solução.

Resposta

w_{n}=y(x_{n})=e^{x_{n}} para todo n.

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