Considere o seguinte método:
Mostre que se
então o método produz o resultado exato.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
- O método iterativo é
. - A equação diferencial é
com condição inicial . - Foi especificado que
.
O que se pede: mostrar que, para essa função, o método produz o resultado exato nos pontos da malha , isto é, provar que para todo vale .
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a solução exata
da equação diferencial, porque conhecer
facilita mostrar que o método reproduz exatamente seus valores na malha.
Começamos da equação
Esta é uma equação separável: podemos separar as variáveis
e
. Escrevemos
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
e a integral do lado direito é
Igualando as duas expressões (podemos absorver constantes em uma só constante
) obtemos
Multiplicando por
e definindo
vem
Aplicando a condição inicial
obtemos
Portanto
Resumo: a solução exata é
.
Passo 3
Vamos calcular
avaliada na solução exata, porque isso aparece explicitamente no método numérico:
Ou seja, para a solução exata vale
.
Passo 4
Agora mostro que o método reproduce exatamente os valores
na malha
.
Primeiro a base da indução: para
temos dado inicial
e
, então
.
Indutivamente, suponha que para algum
valha
. Então apliquei o passo do método:
Usando a hipótese indutiva
e o resultado do Passo 3 para
na solução exata, obtemos
Como
, isto é
Assim a propriedade se mantém de
para
. Pelo princípio da indução matemática, vale para todo
que
.
Passo 5
Interpretação final e observação pedagógica: o motivo pelo qual o método é exato aqui é que, para essa equação particular, a solução satisfaz
. O esquema numérico usa exatamente essa relação, então ele simplesmente reproduz a solução verdadeira passo a passo. Note que isso funciona para qualquer
; não houve aproximação numérica aqui porque a fórmula iterativa coincide com a relação exata entre pontos da solução.