Use a transformada de Laplace pra resolver o PVI
r y^prime+3 y=13 sen(2 t) y(0)=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação diferencial:
y^prime + 3y = 13 sin(2t)
com a condição inicial $ y(0) = 6 $. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, utilizar propriedades das transformadas e, por fim, fazer a transformada inversa para achar $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de $ y’ $ é $ sY(s) - y(0) $, onde $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $.
Aplicando a transformada:
y'
Isso fica:
sY(s) - y(0)

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial $ y(0) = 6 $ na equação:
y(0) = 6
Juntando os termos com $ Y(s) $:
sY(s) - 6 + 3Y(s) = 26s^2 + 4

Passo 4

Vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)
Para facilitar, vamos separar o segundo termo usando frações parciais. Assumimos:
Y(s) = 6s + 3 + 26(s + 3)(s^2 + 4)
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 3)(s^2 + 4) $:
26(s + 3)(s^2 + 4) = As + 3 + Bs + Cs^2 + 4
Explicando isso, encontramos os valores de $ A $, $ B $, e $ C $:
  • Para $ s = -3 $:
    (s + 3)(s^2 + 4)
  • Comparando os coeficientes:
    26 = A(s^2 + 4) + (Bs + C)(s + 3)
Então:
A

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa para encontrar $ y(t) $:
y(t)
Simplificando:
y(t) = 8e^-3t - 2cos(2t) + 62sin(2t)

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 8e^-3t - 2cos(2t) + 3sin(2t)

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