Use a transformada de Laplace pra resolver o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação diferencial:
com a condição inicial $ y(0) = 6 $. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, utilizar propriedades das transformadas e, por fim, fazer a transformada inversa para achar $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de $ y’ $ é $ sY(s) - y(0) $, onde $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $.
Aplicando a transformada:
Isso fica:
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial $ y(0) = 6 $ na equação:
Juntando os termos com $ Y(s) $:
Passo 4
Vamos isolar $ Y(s) $:
Para facilitar, vamos separar o segundo termo usando frações parciais. Assumimos:
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 3)(s^2 + 4) $:
Explicando isso, encontramos os valores de $ A $, $ B $, e $ C $:
-
Para $ s = -3 $:
-
Comparando os coeficientes:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa para encontrar $ y(t) $:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema é: