Resolva o sistema de equações diferenciais ordinárias:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-3 y+2 z \\\ z^{\prime}=-4 y+z+2 \operatorname{sen}(x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear não homogêneo
\begin{cases} y'=-3y+2z,\\\ z'=-4y+z+2\operatorname{sen}(x). \end{cases}
Para resolver, vamos eliminar z e obter uma EDO de ordem 2 só em y, depois achar y e recuperar z por z=(y'+3y)/2. Usamos coeficientes indeterminados para a parte não homogênea.

Passo 2

Diferenciando a primeira equação e usando a segunda:
y''=-3y'+2z'.
Como z'=-4y+z+2\operatorname{sen}(x), temos
y''=-3y'+2(-4y+z+2\operatorname{sen} x)=-3y'-8y+2z+4\operatorname{sen} x.
Mas da primeira equação 2z=y'+3y. Logo
y''=-3y'-8y+(y'+3y)+4\operatorname{sen} x=-2y'-5y+4\operatorname{sen} x,
ou seja
y''+2y'+5y=4\operatorname{sen} x.

Passo 3

A equação homogênea associada é
y_h''+2y_h'+5y_h=0
com equação característica r^2+2r+5=0\), cujas raízes são \(r=-1\pm2i\). Assim \[y_h=e^{-x}\bigl(C_1\cos2x+C_2\sin2x\bigr).
Para a parte particular, tentamos
y_p=C\operatorname{sen} x+D\cos x.
Calculando y_p' e y_p'' e substituindo em y''+2y'+5y=4\operatorname{sen} x, obtemos o sistema
\begin{cases} 4C-2D=4,\\\\ 2C+4D=0, \end{cases}
cuja solução é C=4/5\], \(D=-2/5. Logo
y_p=\frac{4}{5}\operatorname{sen} x-\frac{2}{5}\cos x.

Passo 4

A solução geral para y é
y(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos2x+C_2\sin2x\bigr) +\frac{4}{5}\operatorname{sen} x-\frac{2}{5}\cos x.

Passo 5

Recuperamos z pela fórmula z=(y'+3y)/2. Calculando y'+3y e dividindo por 2, chega-se a
z(x)=e^{-x}\bigl((C_1+C_2)\cos2x+(C_2-C_1)\sin2x\bigr) +\frac{7}{5}\operatorname{sen} x-\frac{1}{5}\cos x.

Resposta

y(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos2x+C_2\sin2x\bigr) +\frac{4}{5}\operatorname{sen} x-\frac{2}{5}\cos x,
z(x)=e^{-x}\bigl((C_1+C_2)\cos2x+(C_2-C_1)\sin2x\bigr) +\frac{7}{5}\operatorname{sen} x-\frac{1}{5}\cos x,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

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