Resolva o sistema de equações diferenciais ordinárias: \left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-3 y+2 z \\\ z^{\prime}=-4 y+z+2 \operatorname{sen}(x) \end{array}\right. Passo 1O enunciado pede a solução geral do sistema linear não homogêneo \begin{cases} y'=-3y+2z,\\\ z'=-4y+z+2\operatorname{sen}(x). \end{cases} Para resolver, vamos eliminar z e obter uma EDO de ordem 2 só em y, depois achar y e recuperar z por z=(y'+3y)/2. Usamos coeficientes indeterminados para a parte não homogênea. Passo 2Diferenciando a primeira equação e usando a segunda: y''=-3y'+2z'. Como z'=-4y+z+2\operatorname{sen}(x), temos y''=-3y'+2(-4y+z+2\operatorname{sen} x)=-3y'-8y+2z+4\operatorname{sen} x. Mas da primeira equação 2z=y'+3y. Logo y''=-3y'-8y+(y'+3y)+4\operatorname{sen} x=-2y'-5y+4\operatorname{sen} x, ou seja y''+2y'+5y=4\operatorname{sen} x. Passo 3A equação homogênea associada é y_h''+2y_h'+5y_h=0 com equação característica r^2+2r+5=0\), cujas raízes são \(r=-1\pm2i\). Assim \[y_h=e^{-x}\bigl(C_1\cos2x+C_2\sin2x\bigr). Para a parte particular, tentamos y_p=C\operatorname{sen} x+D\cos x. Calculando y_p' e y_p'' e substituindo em y''+2y'+5y=4\operatorname{sen} x, obtemos o sistema \begin{cases} 4C-2D=4,\\\\ 2C+4D=0, \end{cases} cuja solução é C=4/5\], \(D=-2/5. Logo y_p=\frac{4}{5}\operatorname{sen} x-\frac{2}{5}\cos x. Passo 4A solução geral para y é y(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos2x+C_2\sin2x\bigr) +\frac{4}{5}\operatorname{sen} x-\frac{2}{5}\cos x. Passo 5Recuperamos z pela fórmula z=(y'+3y)/2. Calculando y'+3y e dividindo por 2, chega-se a z(x)=e^{-x}\bigl((C_1+C_2)\cos2x+(C_2-C_1)\sin2x\bigr) +\frac{7}{5}\operatorname{sen} x-\frac{1}{5}\cos x. Resposta y(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos2x+C_2\sin2x\bigr) +\frac{4}{5}\operatorname{sen} x-\frac{2}{5}\cos x, z(x)=e^{-x}\bigl((C_1+C_2)\cos2x+(C_2-C_1)\sin2x\bigr) +\frac{7}{5}\operatorname{sen} x-\frac{1}{5}\cos x, onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDescubra a Transformada Inversa de Laplace: \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s}{s^{2}+12}\right) Descubra a Transformada Inversa de Laplace: \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s}{s^{2}+12}\right) Resolva o sistema de equações diferenciais ordinárias: \left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-3 y+2 z \\\ z^{\prime}=-4 y+z+2 \operatorname{sen}(x) \end{array}\right. Determine a integral indefinida \int \frac{1}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})} d x.