Resolva o sistema S pelo escalonamento de sua matriz ampliada:
S:\left\{\begin{array}{l}x+2 y-3 z=9 \\\\ 2 x-y+z=0 \\\\ 4 x-y+2 z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
S:\begin{cases} x + 2y - 3z = 9,\\\\ 2x - y + z = 0,\\\\ 4x - y + 2z = 4, \end{cases}
e pede para resolvê-lo por escalonamento da sua matriz ampliada. O conteúdo é eliminação de Gauss: montar a matriz \bigl[A\mid b\bigr], usar operações elementares para obter forma triangular e depois fazer substituição para encontrar x,y,z.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada e eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna (primeira linha):
\bigl[A\mid b\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 &\mid& 9\\\\ 2 & -1 & 1 &\mid& 0\\\\ 4 & -1 & 2 &\mid& 4 \end{pmatrix}.
Fazendo
R_2\to R_2 - 2R_1,\quad R_3\to R_3 - 4R_1,
temos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 &\mid& 9\\\\ 0 & -5 & 7 &\mid& -18\\\\ 0 & -9 & 14 &\mid& -32 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos o pivô da segunda linha ( -5) para zerar o elemento abaixo dele:
R_3\to R_3 - \frac{-9}{-5}\,R_2 = R_3 - \frac{9}{5}R_2.
Isso produz
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 &\mid& 9\\\\ 0 & -5 & 7 &\mid& -18\\\\ 0 & 0 & \tfrac{7}{5} &\mid& \tfrac{2}{5} \end{pmatrix},
que é uma forma triangular superior.

Passo 4

Da terceira equação triangular temos
\frac{7}{5}z = \frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{2}{7}.
Substituindo na segunda linha
-5y + 7\Bigl(\tfrac{2}{7}\Bigr) = -18 \quad\Longrightarrow\quad -5y + 2 = -18 \quad\Longrightarrow\quad y = 4.
Por fim, na primeira linha
x + 2\cdot 4 - 3\Bigl(\tfrac{2}{7}\Bigr) = 9 \quad\Longrightarrow\quad x + 8 - \tfrac{6}{7} = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{13}{7}.

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{13}{7},\,4,\,\tfrac{2}{7}\Bigr).

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