Encontre a equação da elipse nos seguintes casos:
Focos em F_{1}(3,2) e F_{2}(3,8), comprimento do eixo menor 8 .

Passo 1

O enunciado dá os focos F_{1}(3,2) e F_{2}(3,8) de uma elipse e diz que o comprimento do eixo menor é 8. Vamos usar a geometria da elipse:
  • O centro é o ponto médio dos focos.
  • A distância focal semi-distante é c.
  • O semi-eixo menor é b.
  • A relação fundamental é a^{2}=b^{2}+c^{2}.
  • Como os focos estão alinhados verticalmente, o eixo maior é vertical.

Passo 2

Calculamos o centro (h,k) como ponto médio de (3,2) e (3,8):
h = 3,\quad k = \frac{2+8}{2} = 5.
A distância entre os focos é 8-2=6, então
c = \frac{6}{2} = 3.

Passo 3

O enunciado dá o comprimento do eixo menor igual a 8, logo o semi-eixo menor é
b = \frac{8}{2} = 4.
Usando a relação a^{2}=b^{2}+c^{2}, temos
a^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25,
portanto a = 5.

Passo 4

Para uma elipse com eixo maior vertical, centrada em (h,k)=(3,5), a equação padrão é
\frac{(x-3)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y-5)^{2}}{a^{2}} = 1.
Substituindo b^{2}=16 e a^{2}=25, obtemos
\frac{(x-3)^{2}}{16} + \frac{(y-5)^{2}}{25} = 1.

Resposta

\frac{(x-3)^{2}}{16} + \frac{(y-5)^{2}}{25} = 1

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