Resolva o sistema S pelo escalonamento de sua matriz ampliada:
S:\left\{\begin{aligned} x-y-z+2 t & =1 \\\\ 2 x-2 y-z+3 t & =3 \\\\ -x+y-z & =-3\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema dado é
S:\begin{cases} x - y - z + 2t = 1,\\\\ 2x - 2y - z + 3t = 3,\\\\ -\,x + y - z = -3. \end{cases}
Vamos usar o escalonamento da matriz ampliada para encontrar a solução geral em termos de parâmetros livres.

Passo 2

Construímos a matriz ampliada de S:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 2 & 1\\\\ 2 & -2 & -1 & 3 & 3\\\\ -1 & 1 & -1 & 0 & -3 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô de R_1:
faremos
\,R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e
R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Isso leva a
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \end{array}\right].

Passo 4

Agora zeramos a terceira linha usando a segunda:
\,R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Temos pivôs em x (coluna 1) e em z (coluna 3). As variáveis y e t são livres.

Passo 5

Reescrevendo as duas equações não triviais:
Da segunda linha,
z - t = 1 \quad\Longrightarrow\quad z = t + 1.
Da primeira linha,
x - y - z + 2t = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 + y + z - 2t.
Substituindo z = t+1 em x:
x = 1 + y + (t+1) - 2t = y + 2 - t.
Logo, escolhendo parâmetros livres
\,y = s e \,t = r, obtemos
x = s + 2 - r,\quad y = s,\quad z = r + 1,\quad t = r.

Resposta

A solução geral de S é
(x,y,z,t) = (2,0,1,0) + s\,(1,1,0,0) + r\,(-1,0,1,1),
onde s,r\in\mathbb{R}.

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