Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{u}+\frac{3}{v}=8 \\\ \frac{1}{u}-\frac{1}{v}=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema racional
\begin{cases} \frac{2}{u} + \frac{3}{v} = 8,\\[6pt] \frac{1}{u} - \frac{1}{v} = -1. \end{cases}
O conteúdo aqui é transformar variáveis para obter um sistema linear em x=\frac1u e y=\frac1v.]

Passo 2

Definimos
x = \frac1u,\quad y = \frac1v.
Substituindo no sistema, obtemos
\begin{cases} 2x + 3y = 8,\\[4pt] x - y = -1. \end{cases}]

Passo 3

Para resolver
\begin{cases} 2x + 3y = 8,\\\ x - y = -1, \end{cases}
isolemos x na segunda equação:
x = y - 1.
Substituindo em 2x+3y=8:
2(y-1) + 3y = 8 \quad\Longrightarrow\quad 2y - 2 + 3y = 8 \quad\Longrightarrow\quad 5y = 10 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Então
x = y - 1 = 2 - 1 = 1.

Passo 4

Voltando às variáveis originais,
\frac1u = x = 1 \quad\Longrightarrow\quad u = 1,
\frac1v = y = 2 \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{1}{2}.

Resposta

u = 1,\;v = \tfrac12.

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