Classifique, de acordo com o valor de k, os sistemas abaixo em “possível e determinado”, “possível e indeterminado”, ou 'impossível".
\left\{\begin{array}{l}k x+2 y=6 \\\\ 3 x-y=-2 \\\ x+y=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} k\,x + 2\,y = 6,\\\\ 3\,x - y = -2,\\\ x + y = 0, \end{cases}
com duas variáveis x,y e um parâmetro k. Como há três equações para duas incógnitas, devemos verificar compatibilidade e grau de determinação em função de k.

Passo 2

Resolvemos primeiro o par
3\,x - y = -2, \qquad x + y = 0.
Da segunda, y = -x. Substituindo na primeira:
3\,x -(-x) = -2 \;\Rightarrow\; 4\,x = -2 \;\Rightarrow\; x = -\frac12, \quad y = -\bigl(-\tfrac12\bigr)=\frac12.

Passo 3

Para que todo o sistema seja compatível, o par \bigl(x,y\bigr)=\bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr) deve satisfazer também
k\,x + 2\,y = 6.
Substituindo x=-\tfrac12 e y=\tfrac12:
k\!\bigl(-\tfrac12\bigr) + 2\!\bigl(\tfrac12\bigr) = 6 \;\Rightarrow\; -\frac{k}{2} + 1 = 6 \;\Rightarrow\; -\frac{k}{2} = 5 \;\Rightarrow\; k = -10.

Passo 4

Para k=-10 o ponto \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr) satisfaz todas as três equações, gerando exatamente uma solução. Para k\neq -10 não há nenhum (x,y) que satisfaça simultaneamente as três equações, pois as duas últimas já fixam (x,y) de modo único e o primeiro passa a ser contraditório.

Resposta

Para k=-10 o sistema é possível e determinado.
Para k\neq -10 o sistema é impossível.
Não há valor de k que torne o sistema possível e indeterminado.

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