Determinar o valor de k para que o sistema
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+k z=1 \\\\ 2 x+k y+8 z=3\end{array}\right.
tenha:
(a) solulção única
(b) nenhuma solução
(c) mais de uma solução

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com três incógnitas e duas equações:
\begin{cases} x + 2y + k\,z = 1,\\\\ 2x + k\,y + 8z = 3. \end{cases}
O conteúdo principal é teoria de sistemas lineares: vamos analisar postos (ranks) das matrizes dos coeficientes e da matriz aumentada, para classificar o número de soluções em função de k.

Passo 2

Definimos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\\\ 2 & k & 8 \end{pmatrix}
e a matriz aumentada
[A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k & 1\\\\ 2 & k & 8 & 3 \end{pmatrix}.
O número de soluções depende de comparar \mathrm{rank}(A) e \mathrm{rank}([A\mid b]) com o número de incógnitas, que é 3.

Passo 3

Para ter solução única seria necessário
\mathrm{rank}(A) = \mathrm{nº\;de\;incógnitas} = 3.ºó
Mas A é 2\times3, logo \mathrm{rank}(A)\le2<3. Concluímos que não existe valor de k que torne a solução única, pois não há como a matriz de coeficientes ter posto 3.

Passo 4

Para o sistema não ter solução, precisamos de
\mathrm{rank}(A) < \mathrm{rank}([A\mid b]).
Isto ocorre se as duas linhas de A forem proporcionais (posto 1) mas a última coluna de [A\mid b] não obedecer à mesma proporção (posto 2). Supondo
(2,\;k,\;8) = \lambda\,(1,\;2,\;k),
pelas componentes em x vem \lambda=2. Então das componentes em y e em z obtemos k=2\cdot2=4 e 8=2\cdot k, também k=4. Para o vetor de termos independentes isso exigiria
3 = \lambda\cdot 1 = 2,
o que é impossível. Logo, em k=4 temos \mathrm{rank}(A)=1 e \mathrm{rank}([A\mid b])=2, gerando sistema inconsistente.

Passo 5

Para mais de uma solução (infinitas soluções) precisamos de
\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}([A\mid b]) < 3.
Quando k\neq4, as duas linhas de A são linearmente independentes, então \mathrm{rank}(A)=2. Como em seguida \mathrm{rank}([A\mid b]) também vale 2 (o vetor de constantes não entra em contradição), há infinitas soluções, pois 2<3.

Resposta

(a) Não existe valor de k.
(b) k = 4.
(c) Qualquer k \neq 4.

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