Resolva o sistema: \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=9 \\\\ -\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \\\ \frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{2}{z}=-1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema
\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=9,\\[6pt] \displaystyle -\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0,\\[6pt] \displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{2}{z}=-1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As incógnitas do sistema são x,\;y,\;z.
  • Todas as expressões envolvem \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}, então é necessário ter x\neq 0,\;y\neq 0,\;z\neq 0 para que o sistema faça sentido.
  • A tarefa é encontrar os valores de x,\;y,\;z que satisfazem simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Um truque natural quando aparecem \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}\) é fazer a mudança de variáveis \[a=\frac{1}{x},\qquad b=\frac{1}{y},\qquad c=\frac{1}{z}.
Isso transforma o sistema original em um sistema linear em a,b,c. Substituindo, obtemos
\begin{cases} a+2b-c=9,\\[4pt] -a+b+c=0,\\[4pt] 2a-b+2c=-1. \end{cases}
Explicação didática: essa substituição é válida porque exige apenas que x,y,z\] sejam diferentes de zero (condição já necessária pelas frações). Resolver primeiro o sistema linear em \(a,b,c é mais simples; depois retornamos a x,y,z invertendo as relações.]

Passo 3

Vamos resolver o sistema linear por eliminação — a ideia é somar/subtrair equações para eliminar uma incógnita e reduzir o sistema.
Chamo as equações de (I), (II), (III):
\text{(I)}\quad a+2b-c=9, \qquad \text{(II)}\quad -a+b+c=0, \qquad \text{(III)}\quad 2a-b+2c=-1.
Primeira operação: somar (I) e (II) para eliminar a:
\text{(I)}+\text{(II)}:\quad (a + (-a)) + (2b+b) + (-c + c) = 9 + 0,
que dá
3b = 9.
Logo
b=3.
Comentário: somar equações é uma operação linear que preserva as soluções; aqui foi escolhida para cancelar a.
Com b=3, use (II) para relacionar a e c. A equação (II) é
-a + b + c = 0.
Substituindo b=3:
-a + 3 + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = a - 3.
Agora substituímos b=3 e c=a-3 na equação (III):
2a - b + 2c = -1.
Substituindo:
2a - 3 + 2(a-3) = -1.
Desenvolvendo os termos:
2a - 3 + 2a - 6 = -1,
4a - 9 = -1,
4a = 8,
a = 2.
Com a=2 e b=3, obtemos c por c=a-3:
c = 2 - 3 = -1.
Resumo dos valores em a,b,c:
a=2,\qquad b=3,\qquad c=-1.

Passo 4

Voltamos às variáveis originais usando a=\dfrac{1}{x},\;b=\dfrac{1}{y},\;c=\dfrac{1}{z}.
Portanto
x=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}, \qquad y=\frac{1}{b}=\frac{1}{3}, \qquad z=\frac{1}{c}=\frac{1}{-1}=-1.
Verificação rápida (substituir na primeira equação original):
\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z} = a + 2b - c = 2 + 2\cdot 3 - (-1) = 2 + 6 +1 =9,
confere. As outras equações também serão satisfeitas porque resolvemos o sistema equivalente em a,b,c.
Pequena nota didática final: a estratégia de substituir as frações por novas variáveis para transformar em um sistema linear é muito prática — elimina trabalho com frações complicadas e usa ferramentas básicas de álgebra linear (eliminação). Sempre verifique que a substituição é válida (aqui: x,y,z\neq 0).

Passo 5

Recapitulando de forma direta: encontramos a,b,c resolvendo um sistema linear por eliminação e depois invertendo as relações para obter x,y,z. A solução é única e não viola a condição x,y,z\neq 0.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}
y=\dfrac{1}{3}
z=-1

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