O que se pede: determinar os valores das incógnitas \,x,y,z,t,w\, que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Informações relevantes que temos:
Cada equação é uma soma de quatro ou cinco das variáveis (a primeira tem todas as cinco; as demais omitem cada uma, uma por vez).
Não há outras condições além das equações acima.]
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): observar que as quatro últimas equações são iguais à primeira, exceto por terem faltando uma variável cada uma. Isso sugere usar subtração entre equações para isolar rapidamente cada variável.
então fazendo A-B cancela todos os termos iguais em ambos os lados (aqui \,x+z+t+w\,) e sobra \,y=a-b. Em outras palavras, subtrair uma equação da outra elimina as partes comuns e isola a parte que difere.
Essa é uma técnica básica de eliminação: combinar equações (somando ou subtraindo) para obter equações com menos incógnitas até conseguir resolver uma a uma.
Passo 3
Aplicar a ideia ao sistema: subtrair a segunda equação da primeira para isolar \,y.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+z+t+w)=1-2.
No lado esquerdo os termos x,z,t,w cancelam e sobra y. No direito sobra 1-2.
Portanto
y = 1-2 = -1.
Passo 4
Subtrair a terceira equação da primeira para isolar \,z.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+y+t+w)=1-3.
No lado esquerdo sobra z. No direito fica 1-3.
Portanto
z = 1-3 = -2.
Passo 5
Subtrair a quarta equação da primeira para isolar \,t.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+y+z+w)=1-4.
No lado esquerdo sobra t. No direito fica 1-4.
Portanto
t = 1-4 = -3.
Passo 6
Subtrair a quinta equação da primeira para isolar \,w.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+y+z+t)=1-5.
No lado esquerdo sobra w. No direito fica 1-5.
Portanto
w = 1-5 = -4.
Passo 7
Agora que temos \,y,z,t,w, encontramos \,x substituindo esses valores em qualquer uma das equações originais — a primeira é a mais direta.
Substituir em \,x+y+z+t+w=1:
x + (-1) + (-2) + (-3) + (-4) = 1.
Somando os termos constantes: (-1)+(-2)+(-3)+(-4)=-10. Assim
x-10=1.
Portanto
x = 1+10 = 11.
Passo 8
Verificação rápida em todas as equações para garantir consistência:
Primeira: 11+(-1)+(-2)+(-3)+(-4)=11-10=1 OK.
Segunda: 11+(-2)+(-3)+(-4)=11-9=2 OK.
Terceira: 11+(-1)+(-3)+(-4)=11-8=3 OK.
Quarta: 11+(-1)+(-2)+(-4)=11-7=4 OK.
Quinta: 11+(-1)+(-2)+(-3)=11-6=5 OK.
Todas as equações são satisfeitas, logo a solução está correta e é única.