Para que valor de " m " o sistema é possível e determinado, ou seja, admite uma única solução:
\left\{\begin{array}{c} x+y+2 z=3 \\ -2 x+y-3 z=4 \\ m x+2 y+z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas x,y,z\): \[\begin{cases} x+y+2z=3,\\[4pt] -2x+y-3z=4,\\[4pt] m x+2y+z=0. \end{cases}
A pergunta é: para quais valores de (m] o sistema é possível e determinado, ou seja, admite exatamente uma solução única?]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada passo a passo): para um sistema linear quadrado A\mathbf{v}=\mathbf{b} (matriz de coeficientes A de ordem 3\times3), existe solução única exatamente quando a matriz A é invertível. Um teste prático de invertibilidade é calcular o determinante de A: se \det(A)\neq0 a matriz é invertível e o sistema tem única solução; se \det(A)=0 a matriz não é invertível e o sistema terá ou nenhuma ou infinitas soluções. Essa é uma ferramenta padrão e rápida para decidir se há solução única sem resolver o sistema completo.

Passo 3

Formo a matriz dos coeficientes A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] -2 & 1 & -3\\[4pt] m & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante \det(A). Para uma matriz 3\times3 posso usar a expansão pela primeira linha: se A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}, então
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\\ a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{33}\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\\ a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.
Lembrete rápido sobre det de 2\times2: para \begin{pmatrix}p&q\\\ r&s\end{pmatrix} vale \det=\;p s - q r. Isso é tudo o que preciso para avançar.]

Passo 4

Aplico a fórmula ao meu A. Usando a primeira linha (1,1,2):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[4pt] m & 1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] m & 2\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-3)\cdot2=1+6=7,
\det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[4pt] m & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-(-3)\cdot m=-2+3m,
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] m & 2\end{pmatrix}=(-2)\cdot2-1\cdot m=-4-m.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot7 - 1\cdot(-2+3m) + 2\cdot(-4-m).
Faço a simplificação passo a passo:
\det(A)=7 -(-2+3m) + 2(-4-m)=7+2-3m-8-2m.
\det(A)=(7+2-8)+(-3m-2m)=1-5m.
Portanto
\det(A)=1-5m.]

Passo 5

Condição para solução única: precisamos de \det(A)\neq0. Assim
1-5m\neq0 \quad\Longrightarrow\quad m\neq\dfrac{1}{5}.
Se m=\dfrac{1}{5} temos \det(A)=0 e a matriz não é invertível, então o sistema não terá solução única (pode ser inconsistente ou ter infinitas soluções), mas como a pergunta pede exatamente quando há única solução, essa exclui m=\dfrac{1}{5}.

Resposta

\;m\neq\dfrac{1}{5}\;

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