O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas x,y,z\):
\[\begin{cases} x+y+2z=3,\\[4pt] -2x+y-3z=4,\\[4pt] m x+2y+z=0. \end{cases}
A pergunta é: para quais valores de (m] o sistema é possível e determinado, ou seja, admite exatamente uma solução única?]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada passo a passo): para um sistema linear quadrado A\mathbf{v}=\mathbf{b} (matriz de coeficientes A de ordem 3\times3), existe solução única exatamente quando a matriz A é invertível. Um teste prático de invertibilidade é calcular o determinante de A: se \det(A)\neq0 a matriz é invertível e o sistema tem única solução; se \det(A)=0 a matriz não é invertível e o sistema terá ou nenhuma ou infinitas soluções. Essa é uma ferramenta padrão e rápida para decidir se há solução única sem resolver o sistema completo.
Vou calcular o determinante \det(A). Para uma matriz 3\times3 posso usar a expansão pela primeira linha: se A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}, então
Se m=\dfrac{1}{5} temos \det(A)=0 e a matriz não é invertível, então o sistema não terá solução única (pode ser inconsistente ou ter infinitas soluções), mas como a pergunta pede exatamente quando há única solução, essa exclui m=\dfrac{1}{5}.